In der Kontaktgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine Boothby-Wang-Faserung eine spezielle Faserung einer Kontaktmannigfaltigkeit. Ein Beispiel ist die Hopf-Faserung ${\displaystyle S^{2n-1}\to \mathbb {C} P^{n}}$.

Der Satz von Boothby-Wang charakterisiert kompakte reguläre Kontaktmannigfaltigkeiten ${\displaystyle (P,\alpha )}$: diese sind genau die ${\displaystyle S^{1}}$-Bündel über symplektischen Mannigfaltigkeiten, deren symplektische Form eine integrale Kohomologieklasse bestimmt.

Satz von Boothby-Wang

Sei ${\displaystyle P}$ eine kompakte Kontaktmannigfaltigkeit mit Kontaktform ${\displaystyle \alpha }$. Die Kontaktform heißt regulär, wenn es ein duales, d. h. die Gleichung ${\displaystyle \alpha (X)=1}$ erfüllendes reguläres Vektorfeld gibt. (Ein Vektorfeld heißt regulär, wenn jeder Punkt eine Umgebung hat, durch die jede Integralkurve des höchstens einmal durchläuft.)

Der Fluss dieses Vektorfeldes definiert eine Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle P}$. Sei ${\displaystyle M=P/\sim }$ der Quotientenraum. Der Satz von Boothby-Wang besagt dann, dass ${\displaystyle \pi \colon P\to M}$ ein ${\displaystyle S^{1}}$-Prinzipalbündel mit Zusammenhangsform ${\displaystyle \alpha }$ ist, eine sogenannte Boothby-Wang-Faserung. Die Krümmungsform des Zusammenhangs ist eine symplektische Form ${\displaystyle \omega }$ mit ganzzahligen Perioden auf ${\displaystyle M}$.

Es gibt in diesem Fall eine nullstellenfreie Funktion ${\displaystyle \tau \colon P\to \mathbb {R} }$, so dass das Reeb-Vektorfeld zu ${\displaystyle \alpha ^{\prime }:=\tau \alpha }$ die ${\displaystyle S^{1}}$-Wirkung erzeugt, und es gilt ${\displaystyle d\alpha ^{\prime }=\pi ^{*}\omega }$.

Boothby-Wang-Konstruktion

Sei ${\displaystyle (M,\omega )}$ eine symplektische Mannigfaltigkeit, deren symplektische Form ganzzahlige Perioden hat, also ${\displaystyle \left[\omega \right]\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$. Sei ${\displaystyle P\to M}$ ein ${\displaystyle S^{1}}$-Prinzipalbündel mit Chern-Klasse ${\displaystyle c_{1}(P)=\left[\omega \right]}$. Dann ist ${\displaystyle P}$ eine Kontaktmannigfaltigkeit, d. h. es gibt eine Kontaktform auf ${\displaystyle P}$. Das Bündel ${\displaystyle S^{1}\to P\to M}$ ist dann eine Boothby-Wang-Faserung.

Literatur

• W. M. Boothby, H. C. Wang: On contact manifolds. Ann. Math. (2) 68, 721-734 (1958).