Brocard-Punkte sind spezielle Punkte im Dreieck; benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Brocard (1845–1922).

Definition

Brocard wurde am bekanntesten für den folgenden Satz:

In einem Dreieck ${\displaystyle \Delta ABC}$ mit den Seiten ${\displaystyle a,b,c}$ gibt es genau einen Punkt ${\displaystyle P}$ derart, dass die Strecken ${\displaystyle {\overline {AP}},{\overline {BP}},{\overline {CP}}}$ der Reihe nach mit den Seiten ${\displaystyle c,a,b}$ den gleichen Winkel ${\displaystyle \omega }$ einschließen, d. h., dass die Winkelgleichung ${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$ gilt. Dieser Punkt ${\displaystyle P}$ heißt der erste Brocard-Punkt und der Winkel ${\displaystyle \omega }$ heißt der Brocard-Winkel des Dreiecks ${\displaystyle \Delta ABC}$.

Es gibt noch einen zweiten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC; das ist derjenige Punkt Q, für den die Strecken AQ, BQ, CQ der Reihe nach mit den Seiten b, c, a gleiche Winkel einschließen, d. h. für den ${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$ gilt. Merkwürdigerweise entspricht diesem zweiten Brocard-Punkt derselbe Brocard-Winkel wie dem ersten Brocard-Punkt, d. h. der Winkel ${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$ ist dem Winkel ${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$ gleich.

Die zwei Brocard-Punkte sind eng miteinander verwandt; in der Tat hängt die Unterscheidung des ersten von dem zweiten davon ab, in welcher Reihenfolge man die Ecken des Dreiecks ABC nimmt! So ist z. B. der erste Brocard-Punkt des Dreiecks ABC gleichzeitig der zweite Brocard-Punkt des Dreiecks ACB.

Vor Brocard wurden sie schon von August Leopold Crelle (1817) und Karl Friedrich Andreas Jacobi (1825) untersucht.

Konstruktion

Die eleganteste Konstruktion der Brocard-Punkte, im Folgenden an dem Beispiel des ersten Brocard-Punktes P beschrieben (in der nebenstehenden Abbildung wurden aus Platzgründen die Kreise durch Kreisbogen ersetzt), geht folgendermaßen:

Man schneidet die Mittelsenkrechte ms₁ der Seite AB mit der Senkrechten s₁ zu der Seite BC durch den Punkt B. Um den Schnittpunkt zeichnet man einen Kreis so, dass er durch den Punkt B geht. Dann geht dieser Kreis auch durch den Punkt A und berührt die Seite BC im Punkt B. Analog konstruieren wir einen Kreis durch die Punkte C und B, der die Seite CA im Punkt C berührt, und einen Kreis durch die Punkte A und C, der die Seite AB im Punkt A berührt. Diese drei Kreise haben einen gemeinsamen Punkt P – den ersten Brocard-Punkt des Dreiecks ABC!

Die drei soeben konstruierten Kreise werden auch als Beikreise des Dreiecks ABC bezeichnet. Analog konstruiert man den zweiten Brocard-Punkt Q (grün gestrichelte Linien).

Formeln für den Brocard-Winkel

Schreibt man ${\displaystyle A_{\Delta }}$ für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, so lässt sich der Brocard-Winkel mit folgenden Formeln berechnen:

• ${\displaystyle \tan \omega ={\frac {4A_{\Delta }}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.
• ${\displaystyle \cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma .\,}$
• ${\displaystyle \sin \omega ={\frac {2A_{\Delta }}{\sqrt {b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}}}}}$

Für jedes Dreieck gilt ${\displaystyle \omega \leq 30^{\circ }}$.

Eigenschaften

• Die beiden Brocard-Punkte eines Dreiecks ABC sind stets zueinander isogonal konjugiert.
• Der Mittelpunkt der beiden Brocard-Punkte (Kimberling-Nummer X(39)) liegt auf der sogenannten Brocard-Achse, die den Umkreismittelpunkt und den Lemoine-Punkt verbindet. Die Verbindungsgerade der beiden Brocard-Punkte ist senkrecht zur Brocard-Achse.

Koordinaten

Erster Brocard-Punkt
Trilineare Koordinaten	${\displaystyle {\frac {c}{b}}\,:\,{\frac {a}{c}}\,:\,{\frac {b}{a}}}$
Baryzentrische Koordinaten	${\displaystyle {\frac {ac}{b}}\,:\,{\frac {ba}{c}}\,:\,{\frac {cb}{a}}}$
Zweiter Brocard-Punkt
Trilineare Koordinaten	${\displaystyle {\frac {b}{c}}\,:\,{\frac {c}{a}}\,:\,{\frac {a}{b}}}$
Baryzentrische Koordinaten	${\displaystyle {\frac {ab}{c}}\,:\,{\frac {bc}{a}}\,:\,{\frac {ca}{b}}}$

Dritter Brocard-Punkt

Gelegentlich wird der Punkt mit trilinearen Koordinaten ${\displaystyle (a^{-3},b^{-3},c^{-3})}$ als „dritter“ Brocard-Punkt bezeichnet. Er hat die Kimberling-Nummer ${\displaystyle X_{76}}$ und die baryzentrischen Koordinaten ${\displaystyle (a^{-2},b^{-2},c^{-2})}$, damit schließt er den Kreis mit den ersten beiden Brocard-Punkten mit den baryzentrischen Koordinaten ${\displaystyle (b^{-2},c^{-2},a^{-2})}$ bzw. ${\displaystyle (c^{-2},a^{-2},b^{-2})}$.

Literatur

• Ross Honsberger Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, 1995, Kapitel 10 (Brocard Points)
• Roger A. Johnson Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, Houghton Mifflin 1929, Neuauflage als Advanced Euclidean Geometry, Dover 1960
• Julian Coolidge A treatise on the geometry of the circle and the square, New York, Chelsea 1971

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Brocard Points (First Brocard Point, Second Brocard Point, Third Brocard Point) auf MathWorld