In der Mathematik ist der Begriff der CR-Mannigfaltigkeit eine Formalisierung der Struktur reeller Hyperflächen im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Die Abkürzung CR bezieht sich auf Augustin-Louis Cauchy und Bernhard Riemann.

Definition

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist eine CR-Mannigfaltigkeit, wenn es ein integrables Unterbündel ${\displaystyle H}$ des komplexifizierten Tangentialbündels ${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$ gibt, für dessen komplex konjugiertes Unterbündel ${\displaystyle {\overline {H}}}$ punktweise ${\displaystyle H\cap {\overline {H}}=\left\{0\right\}}$ gilt. (Die Integrabilitätsbedingung bedeutet, dass für alle komplexen Vektorfelder ${\displaystyle U,V}$ in ${\displaystyle H}$ auch der Kommutator ${\displaystyle \left[U,V\right]}$ in ${\displaystyle H}$ liegt.)

Eine äquivalente Definition ist, dass es eine Distribution ${\displaystyle D}$ mit einer fast-komplexen Struktur ${\displaystyle J}$ gibt, so dass für alle reellen Vektorfelder ${\displaystyle X,Y}$ in ${\displaystyle D}$ auch ${\displaystyle \left[JX,JY\right]-\left[X,Y\right]}$ in ${\displaystyle D}$ liegt und gleich ${\displaystyle J(\left[JX,Y\right]+\left[X,JY\right])}$ ist.

Beispiel

Sei ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$ eine reelle Untermannigfaltigkeit, in lokalen Koordinaten lässt sie sich schreiben als Nullstellenmenge differenzierbarer Funktionen ${\displaystyle M\cap U=\left\{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon F_{1}(z)=\ldots =F_{k}(z)=0\right\}}$ mit Differential maximalen Rangs. Sei ${\displaystyle \partial \colon \Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p+1,q}}$ der Dolbeault-Operator. Wenn ${\displaystyle \partial F_{1}\wedge \ldots \wedge \partial F_{k}}$ nirgendwo verschwindet, dann ist ${\displaystyle M}$ eine CR-Mannigfaltigkeit.

Eine CR-Struktur heißt realisierbar, wenn sie CR-diffeomorph zu einer reellen Untermannigfaltigkeit eines ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ist.

Weblinks

• CR manifold