Der Carré-Du-Champ-Operator (wörtlich Quadrat-des-Feldes-Operator) ist ein bilinearer, symmetrischer Operator aus der Analysis und der Stochastik. Der Carré-Du-Champ-Operator misst, wie weit ein Operator davon entfernt ist, eine Derivation zu sein.

Der Operator wurde erstmals 1969 von Hiroshi Kunita beschrieben und 1976 unabhängig von Jean-Pierre Roth in seiner Doktorarbeit wiederentdeckt.

Der Name "carré du champ" (Quadrat des (Vektor-)feldes) stammt aus der Elektrostatik.

Carré-Du-Champ-Operator einer Markow-Halbgruppe

Gegeben sei ein σ-endlicher Maßraum und eine Markow-Halbgruppe von nicht-negativen Operatoren auf .

Weiter sei der infinitesimale Generator von und eine Algebra der Funktionen in der Domäne , das bedeutet ein Vektorraum der geschlossen unter Multiplikation ist. Es gilt also, wenn , dann auch .

Carré-Du-Champ-Operator

Der Carré-Du-Champ-Operator der markowschen Halbgruppe ist der Operator definiert (nach P. A. Meyer) durch

für alle .

Erläuterungen

Aus der Definition folgt

Positivität

Für folgt aus somit und

Domäne der Markow-Halbgruppe

Die Domäne ist definiert als

Carré-Du-Champ-Operator nach Roth

Sei ein lokalkompakter Raum und ein linearer Operator mit Domäne darauf.

Positives Maximumprinzip

erfüllt das positive Maximumprinzip, wenn für alle und mit

gilt, dass

Carré-Du-Champ-Operator

Sei nun ein Operator, der das positive Maximumprinzip erfüllt und dessen Domäne dicht in liegt. Außerdem sei stabil gegenüber der Multiplikation, d. h.

Dann ist der Carré-Du-Champ-Operator , der symmetrische bilineare Operator definiert durch

Literatur

  • Paul-André Meyer: Séminaire de Probabilités X Université de Strasbourg. In: Springer (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics, Meyer, P.A. (eds). Band 511. Berlin, Heidelberg 1976, L'operateur carré du champ, S. 142–161, doi:10.1007/BFb0101102 (französisch).
  • Michel Ledoux: The geometry of Markov diffusion generators. In: Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6. Band 9, Nr. 2, 2000, S. 305366 (numdam.org).

Einzelnachweise

  1. 1 2 Michel Ledoux: The geometry of Markov diffusion generators. In: Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6. Band 9, Nr. 2, 2000, S. 312 (numdam.org).
  2. Hiroshi Kunita: Absolute continuity of Markov processes and generators. In: Nagoya Mathematical Journal (Hrsg.): Nagoya Mathematical Journal. Band 36, 1969, S. 126 (projecteuclid.org).
  3. Jean-Pierre Roth: Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues. In: Annales de l'institut Fourier. Band 26, Nr. 4, 1976, S. 197 (numdam.org Doktorarbeit).
  4. Michel Ledoux: The geometry of Markov diffusion generators. In: Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6. Band 9, Nr. 2, 2000, S. 305366 (numdam.org).
  5. Paul-André Meyer: Séminaire de Probabilités X Université de Strasbourg. In: Springer (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics, Meyer, P.A. (eds). Band 511. Berlin, Heidelberg 1976, L'operateur carré du champ, S. 142–161, doi:10.1007/BFb0101102 (französisch).
  6. Francis Hirsch: Opérateurs carré du champ. In: Séminaire Bourbaki. Band 1976/77, Nr. 18, 1978, S. 168 (numdam.org).
  7. Jean-Pierre Roth: Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues. In: Annales de l'institut Fourier. Band 26, Nr. 4, 1976, S. 3637 (französisch, numdam.org Doktorarbeit).
  8. Francis Hirsch: Opérateurs carré du champ. In: Séminaire Bourbaki. Band 1976/77, Nr. 18, 1978, S. 171 (französisch, numdam.org).
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.