Der Carré-Du-Champ-Operator (wörtlich Quadrat-des-Feldes-Operator) ist ein bilinearer, symmetrischer Operator aus der Analysis und der Stochastik. Der Carré-Du-Champ-Operator misst, wie weit ein Operator davon entfernt ist, eine Derivation zu sein.
Der Operator wurde erstmals 1969 von Hiroshi Kunita beschrieben und 1976 unabhängig von Jean-Pierre Roth in seiner Doktorarbeit wiederentdeckt.
Der Name "carré du champ" (Quadrat des (Vektor-)feldes) stammt aus der Elektrostatik.
Carré-Du-Champ-Operator einer Markow-Halbgruppe
Gegeben sei ein σ-endlicher Maßraum und eine Markow-Halbgruppe von nicht-negativen Operatoren auf .
Weiter sei der infinitesimale Generator von und eine Algebra der Funktionen in der Domäne , das bedeutet ein Vektorraum der geschlossen unter Multiplikation ist. Es gilt also, wenn , dann auch .
Carré-Du-Champ-Operator
Der Carré-Du-Champ-Operator der markowschen Halbgruppe ist der Operator definiert (nach P. A. Meyer) durch
für alle .
Erläuterungen
Aus der Definition folgt
Positivität
Für folgt aus somit und
Domäne der Markow-Halbgruppe
Die Domäne ist definiert als
Carré-Du-Champ-Operator nach Roth
Sei ein lokalkompakter Raum und ein linearer Operator mit Domäne darauf.
Positives Maximumprinzip
erfüllt das positive Maximumprinzip, wenn für alle und mit
gilt, dass
Carré-Du-Champ-Operator
Sei nun ein Operator, der das positive Maximumprinzip erfüllt und dessen Domäne dicht in liegt. Außerdem sei stabil gegenüber der Multiplikation, d. h.
Dann ist der Carré-Du-Champ-Operator , der symmetrische bilineare Operator definiert durch
Literatur
- Paul-André Meyer: Séminaire de Probabilités X Université de Strasbourg. In: Springer (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics, Meyer, P.A. (eds). Band 511. Berlin, Heidelberg 1976, L'operateur carré du champ, S. 142–161, doi:10.1007/BFb0101102 (französisch).
- Michel Ledoux: The geometry of Markov diffusion generators. In: Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6. Band 9, Nr. 2, 2000, S. 305–366 (numdam.org).
Einzelnachweise
- 1 2 Michel Ledoux: The geometry of Markov diffusion generators. In: Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6. Band 9, Nr. 2, 2000, S. 312 (numdam.org).
- ↑ Hiroshi Kunita: Absolute continuity of Markov processes and generators. In: Nagoya Mathematical Journal (Hrsg.): Nagoya Mathematical Journal. Band 36, 1969, S. 1–26 (projecteuclid.org).
- ↑ Jean-Pierre Roth: Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues. In: Annales de l'institut Fourier. Band 26, Nr. 4, 1976, S. 1–97 (numdam.org – Doktorarbeit).
- ↑ Michel Ledoux: The geometry of Markov diffusion generators. In: Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Serie 6. Band 9, Nr. 2, 2000, S. 305–366 (numdam.org).
- ↑ Paul-André Meyer: Séminaire de Probabilités X Université de Strasbourg. In: Springer (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics, Meyer, P.A. (eds). Band 511. Berlin, Heidelberg 1976, L'operateur carré du champ, S. 142–161, doi:10.1007/BFb0101102 (französisch).
- ↑ Francis Hirsch: Opérateurs carré du champ. In: Séminaire Bourbaki. Band 1976/77, Nr. 18, 1978, S. 168 (numdam.org).
- ↑ Jean-Pierre Roth: Opérateurs dissipatifs et semi-groupes dans les espaces de fonctions continues. In: Annales de l'institut Fourier. Band 26, Nr. 4, 1976, S. 36–37 (französisch, numdam.org – Doktorarbeit).
- ↑ Francis Hirsch: Opérateurs carré du champ. In: Séminaire Bourbaki. Band 1976/77, Nr. 18, 1978, S. 171 (französisch, numdam.org).