Die Frequenzmodulation (FM) ist ein Modulationsverfahren, bei dem die Trägerfrequenz durch das zu übertragende Signal verändert wird. Die Frequenzmodulation ermöglicht gegenüber der Amplitudenmodulation einen höheren Dynamikumfang des Informationssignals. Weiterhin ist sie weniger anfällig gegenüber Störungen. Das Verfahren wurde von John Renshaw Carson schon 1922 mathematisch untersucht und von Edwin Howard Armstrong zuerst praktisch umgesetzt. Die Frequenzmodulation ist eine Winkelmodulation und verwandt mit der Phasenmodulation. Bei beiden wird der Phasenwinkel ${\displaystyle \phi _{\mathrm {T} }}$ beeinflusst.

Nicht zu verwechseln ist sie mit der als digitale Frequenzmodulation oder auch als Miller-Code bezeichneten Kanalkodierung, die beispielsweise bei magnetischen Datenträgern zur Datenaufzeichnung Anwendung findet.

Allgemeines

Kenngrößen der Frequenzmodulation

Man bezeichnet die durch die Modulation verursachte Änderung der Trägerfrequenz mit Δf_T (auch Frequenzhub oder kurz Hub genannt), die Änderung des Phasenwinkels des Trägers mit ${\displaystyle \Delta \varphi _{\mathrm {T} }}$ und das Verhältnis des Frequenzhubs ${\displaystyle \Delta f_{\mathrm {T} }}$ zur Modulationsfrequenz ${\displaystyle f_{\mathrm {S} }}$ als Modulationsindex η:

${\displaystyle \eta ={\frac {\Delta f_{\mathrm {T} }}{f_{\mathrm {S} }}}\,}$

wobei ${\displaystyle f_{\mathrm {S} }}$ die höchste zu übertragende Nutzsignalfrequenz darstellt (Bandbreite des Nutzsignals).

Für die Bandbreite des frequenzmodulierten Signals gilt näherungsweise die Carson-Formel:

${\displaystyle B_{10\,\%}=2\cdot (\Delta f_{\mathrm {T} }+f_{\mathrm {S} })=2\cdot f_{\mathrm {S} }\cdot (\eta +1)\,}$

(bei einem Modulationsindex η größer 1).

Hierbei werden alle Spektrallinien bis auf 10 % der Amplitude des Trägers erfasst. Es liegen somit 90 % der Spektrallinien innerhalb der errechneten Bandbreite (Bandbreite mittlerer Übertragungsgüte). Berücksichtigt man Spektrallinien bis auf 1 % der Trägeramplitude, so ergibt sich (ebenfalls als Carson-Formel bezeichnet) die Bandbreite für eine hohe Übertragungsgüte, bei der 99 % der Spektrallinien in der Bandbreite liegen, durch:

${\displaystyle B_{1\,\%}=2\cdot (\Delta f_{\mathrm {T} }+2f_{\mathrm {S} })=2\cdot f_{\mathrm {S} }\cdot (\eta +2)\,}$

(bei einem Modulationsindex η größer 1).

Als konkretes Beispiel für die dargestellten Kenngrößen sei der frequenzmodulierte UKW-Hörfunk angegeben: Dabei wird bei Monoprogrammen mit einem Frequenzhub Δf_T = 75 kHz und einer Grenzfrequenz des Audiosignals von f_S = 15 kHz gearbeitet. Damit ergibt sich beim UKW-Hörfunk ein Modulationsindex η = 5 und eine benötigte Bandbreite B_10 % = 180 kHz im UKW-Band. Bei UKW-Stereo-Hörfunk inklusive des Datensignals des Radio Data Systems (RDS) liegt die Basisbandbreite bei f_S = 60 kHz und die benötigte UKW-Bandbreite bei knapp 400 kHz. Benachbarte UKW-Stereo-Sender müssen daher mindestens um 400 kHz versetzt senden, um sich nicht gegenseitig zu stören.

Unter Schmalband-FM wird eine Frequenzmodulation verstanden, deren Modulationsindex η kleiner als 2 ist, darüber wird als Breitband-FM bezeichnet. Der analoge UKW-Hörfunk zählt zu dem Breitband-FM, Schmalband-FM findet unter anderem im Bereich des Amateurfunks wie im 70-cm-Band Anwendung.

Veranschaulichung der Frequenzmodulation

Das obere Diagramm von Abbildung 1 zeigt ein frequenzmoduliertes Signal sowie gestrichelt das Informationssignal. Der Träger hat im Beispiel die 15-fache Frequenz des Signals, das Signal ist ein einfacher Kosinus. Man erkennt, dass dort, wo der Momentanwert der Spannung des Signals am niedrigsten ist, die Frequenz des modulierten Signals gleichfalls am niedrigsten ist. Während des Nullpunktdurchlaufs des Informationssignals hat der modulierte Träger dieselbe Frequenz wie der unmodulierte Träger. Die Frequenz des Informationssignals ist davon abhängig, wie oft es pro Sekunde zu einer Frequenzänderung des Trägers kommt. Die Amplitude des Signals ist abhängig davon, wie groß die Frequenzänderung (Hub) ist. Je öfter pro Sekunde sich die Frequenz des Trägers ändert, desto größer ist die Frequenz des Informationssignals. Je größer der Hub, desto größer ist die Amplitude des Informationssignals. Je größer die Amplitude oder Frequenz des Informationssignals, desto größer ist die benötigte Bandbreite.

Im mittleren Diagramm von Abbildung 1 ist die Änderung der Frequenz des Trägers in Abhängigkeit von obigem Signal dargestellt, gestrichelt der unmodulierte Träger. Das untere Diagramm von Abbildung 1 zeigt den Phasenwinkel des Trägers in rad. Gestrichelt ist der unmodulierte Träger dargestellt. Der Phasenzeiger des Trägers dreht sich fortlaufend, deswegen steigt der Graph auch bei unmoduliertem Signal. Die durchgezogene Linie stellt den Phasenwinkel des modulierten Signals dar. ${\displaystyle \Delta \varphi _{\mathrm {T} }}$ ist jedoch nicht proportional zum Momentanwert der Signalspannung. ${\displaystyle \Delta \varphi _{\mathrm {T} }}$ und ${\displaystyle \Delta f_{\mathrm {T} }}$ sind um 90° verschoben.

Frequenzspektrum bei Frequenzmodulation

Bei einem frequenzmodulierten Signal entstehen Seitenschwingungen im Abstand der Signalfrequenz von der Trägerfrequenz. Theoretisch entstehen unendlich viele Seitenschwingungen. Praktisch werden Seitenschwingungen kleiner 10 % der Amplitude des unmodulierten Trägers vernachlässigt, daraus ergibt sich die Carson-Formel für die Bandbreite. Die Höhe der einzelnen Seitenschwingungen und damit die Leistungsverteilung in Abhängigkeit von ${\displaystyle \Delta \varphi _{\mathrm {T} }}$ ermittelt man anhand eines Besselfunktionsdiagramms mit den Modulationsindizes.

Die Gleichung für die einzelnen Komponenten der Frequenzmodulation lautet:

${\displaystyle {\begin{matrix}u_{\mathrm {WM} }(t)=&{\hat {U}}_{\mathrm {T} }\cdot [\\&&J_{0}(\Delta \varphi )\cdot \cos(\omega _{\mathrm {T} }\cdot t)&{\text{(Trägeranteil)}}\\&&-J_{1}(\Delta \varphi )\cdot \sin((\omega _{\mathrm {T} }-\omega _{\mathrm {S} })\cdot t)&{\text{(Anteil erste Unterschwingung)}}\\&&-J_{1}(\Delta \varphi )\cdot \sin((\omega _{\mathrm {T} }+\omega _{\mathrm {S} })\cdot t)&{\text{(Anteil erste Oberschwingung)}}\\&&-J_{2}(\Delta \varphi )\cdot \cos((\omega _{\mathrm {T} }-2\,\omega _{\mathrm {S} })\cdot t)&{\text{(Anteil zweite Unterschwingung)}}\\&&-J_{2}(\Delta \varphi )\cdot \cos((\omega _{\mathrm {T} }+2\,\omega _{\mathrm {S} })\cdot t)&{\text{(Anteil zweite Oberschwingung)}}\\&&+J_{3}(\Delta \varphi )\cdot \sin((\omega _{\mathrm {T} }-3\,\omega _{\mathrm {S} })\cdot t)&{\text{(Anteil dritte Unterschwingung)}}\\&&+J_{3}(\Delta \varphi )\cdot \sin((\omega _{\mathrm {T} }+3\,\omega _{\mathrm {S} })\cdot t)&{\text{(Anteil dritte Oberschwingung)}}\\&\ldots ]&\end{matrix}}}$

Die Faktoren ${\displaystyle J_{n}(\Delta \varphi )}$ müssen dabei aus dem Bessel-Diagramm bei einem gegebenen ${\displaystyle \Delta \varphi }$ abgelesen werden. Bei bestimmten ${\displaystyle \Delta \varphi }$ können der Träger oder Seitenschwingungspaare verschwinden. Anhand dessen ist auch zu sehen, dass bei ${\displaystyle \Delta \varphi <1}$ das Leistungsverhältnis zwischen Träger und Seitenschwingungen ungünstig wird.

Da bei Frequenzmodulation aufgrund ${\displaystyle \Delta \varphi _{\mathrm {T} }={\tfrac {\Delta f_{\mathrm {T} }}{f_{\mathrm {S} }}}}$ bei steigender Signalfrequenz ${\displaystyle \Delta \varphi _{\mathrm {T} }}$ kleiner wird, lassen sich hohe Frequenzen mit Frequenzmodulation im Gegensatz zur Phasenmodulation schlechter übertragen, da die Seitenschwingungsanteile immer kleiner werden. Häufig wendet man bei FM deshalb vor der Modulation eine Preemphasis auf das Signal an, um die hohen Frequenzen anzuheben, was mit einer Deemphasis im Empfänger wieder rückgängig gemacht wird.

Zusammenhang von Frequenzmodulation und Phasenmodulation

Frequenzmodulation und Phasenmodulation hängen mathematisch eng zusammen. Eine Phasenmodulation eines sinusförmigen Trägers kann man sehr einfach ausdrücken. Zunächst der unmodulierte Träger:

${\displaystyle s(t)=\sin(\omega _{0}t+p_{0})}$

Der Ausdruck ${\displaystyle (\omega _{0}t+p_{0})}$ bezeichnet die momentane Phase. ${\displaystyle \omega _{0}}$ ist die Trägerkreisfrequenz, ${\displaystyle p_{0}}$ ist eine Konstante, die Phase zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$. Wir können die momentane Phase als Funktion der Zeit schreiben: ${\displaystyle p(t)=(\omega _{0}t+p_{0})}$.

Nun wird die momentane Phase durch Addition eines Modulators verändert, dadurch entsteht der Ausdruck für eine Phasenmodulation:

${\displaystyle s(t)=\sin(\omega _{0}t+p_{0}+M_{p}m(t))}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle M_{p}}$ die Modulationsstärke und ${\displaystyle m(t)}$ die modulierende Funktion oder kurz den Modulator. Entsprechend:

${\displaystyle p(t)=(\omega _{0}t+p_{0}+M_{p}m(t))}$.

Man sieht, dass eine Phasenmodulation mathematisch sehr einfach auszudrücken ist.

Eine Frequenzmodulation setzt aber voraus, dass sich die Frequenz ständig ändert. Dieses lässt sich nicht mehr durch einen Term der Form ${\displaystyle \omega _{0}t}$ ausdrücken, sondern wir müssen den Begriff der momentanen Kreisfrequenz einführen: ${\displaystyle \omega (t)={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}p(t)}$. Die momentane Frequenz ist also ganz allgemein die zeitliche Ableitung der Phasenfunktion (vgl. in diesem Zusammenhang die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Ort und die Analogie zwischen Phase und Ort bzw. Frequenz und Geschwindigkeit). Dieses ist der Kern des Zusammenhangs zwischen Frequenz- und Phasenmodulation. Betrachten wir unter diesem Gesichtspunkt noch einmal die Phase des unmodulierten Trägers:

${\displaystyle p(t)=\omega _{0}t+p_{0}}$

Die zeitliche Ableitung ist:

${\displaystyle \omega (t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\omega _{0}t+p_{0})=\omega _{0}}$.

Der neueingeführte Begriff der momentanen Frequenz beinhaltet also auch sinnvoll den Fall konstanter Frequenz. Eine Frequenzmodulation fordert nun, dass sich die momentane Frequenz nach der folgenden Vorschrift verhält: ${\displaystyle \omega (t)=\omega _{0}+M_{f}\,m(t)}$. Für die Berechnung der Kurvenform zu jedem Zeitpunkt jedoch benötigen wir nicht die momentane Frequenz, sondern die Phasenfunktion. Wenn die Frequenz die Ableitung der Phase ist, so ist umgekehrt die Phase das Integral der Frequenz:

${\displaystyle p(t)=\int \omega (t)\,\mathrm {d} t}$

im Beispiel:

${\displaystyle p(t)=\int (\omega _{0}+M_{f}m(t))\,\mathrm {d} t=\omega _{0}t+p_{0}+M_{f}\int m(t)\,\mathrm {d} t\,}$

Damit erhält man für die Frequenzmodulation folgenden Ausdruck:

${\displaystyle s_{f}(t)=\sin \left(\omega _{0}t+p_{0}+M_{f}\int m(t)\,\mathrm {d} t\right)}$

Der direkte Vergleich mit dem Ausdruck für die Phasenmodulation zeigt:

${\displaystyle s_{p}(t)=\sin \left(\omega _{0}t+p_{0}+M_{p}m(t)\right)}$

Die Interpretation dieses Sachverhaltes wird in folgendem Beispiel klar. Setze ${\displaystyle m(t)=\sin(\omega _{m}t+p_{m})}$, dann erhält man für die Modulationen:

${\displaystyle s_{f}(t)=\sin \left(\omega _{0}t+p_{0}-{\frac {M_{f}}{\omega _{m}}}\cdot \cos(\omega _{m}t+p_{m})\right)}$

und

${\displaystyle s_{p}(t)=\sin \left(\omega _{0}t+p_{0}+M_{p}\sin(\omega _{m}t+p_{m})\right)}$.

Der Phasenhub ist also für die Phasenmodulation immer noch ${\displaystyle M_{p}}$, für die Frequenzmodulation erhält man ${\displaystyle {\frac {M_{f}}{\omega _{m}}}}$. Die momentane Frequenz ist für die Phasenmodulation ${\displaystyle \omega _{0}+M_{p}\omega _{m}\cos(\omega _{m}t+p_{m})}$ und für die Frequenzmodulation ${\displaystyle \omega _{0}+M_{f}\cdot \sin \left(\omega _{m}t+p_{m}\right)}$. In beiden Fällen findet eine Modulation der Phase statt. Allerdings wirkt bei der Frequenzmodulation nicht der Modulator direkt auf die Phase ein, sondern es ist erst das Integral des Modulators zu rechnen. Das Integral hat eine Tiefpasswirkung. Der Phasenhub wird also bei der Frequenzmodulation mit zunehmender Frequenz des Modulators geringer. Umgekehrt wird der Frequenzhub bei der Phasenmodulation mit niedriger werdender Modulatorfrequenz immer geringer.

Bei typischen analogen Oszillatoren mit RC- oder LC-Gliedern treten Differentialgleichungen auf, in denen z. B. Ströme integriert werden. Folglich kommt es mit einfachsten Mitteln immer zu einer Frequenzmodulation. Eine Veränderung der Stellgröße ändert dabei kontrolliert die Frequenz und erst mittelbar die Phase. Eine Phasenmodulation ist dagegen analog sehr schwierig, da meistens kein direkter Zugriff auf die Phasenfunktion möglich ist. Bei digitalen Oszillatoren ist beides in einfacher Weise möglich, denn es besteht direkter Zugriff auf den Phasenzeiger.

Modulationsgewinn, rauschbegrenzte Empfindlichkeit

Gegenüber einer Amplitudendemodulation (AM) hat ein FM-Demodulator einen Modulationsgewinn – er bewertet das Rauschen weniger stark als das Nutzsignal. Bei zu geringem Träger-Rausch-Verhältnis (CNR von engl. Carrier to Noise Ratio) verliert die FM diesen Modulationsgewinn. Es treten durch Phasensprünge Fehler bei der Bestimmung der Momentanfrequenz auf, die sich in kurzen Nadelimpulsen im Signal äußern. Dieser Verlust des Modulationsgewinnes beginnt unterhalb von 12 dB CNR und führt unterhalb 5,5…9 dB CNR (FM-Schwelle) zu einer starken Verschlechterung des Empfanges.

Die „Fischchenbildung“ beim analogen SAT-Empfang ist z. B. auf dieses Problem zurückzuführen.

Anwendung der Frequenzmodulation

Frequenzmodulationen in der Akustik

Frequenzmodulation bestimmt oft den Charakter von Klangkörpern und Musikinstrumenten. Bei Lautsprechern ist sie dagegen unerwünscht.

Kurzbezeichnung von FM-Arten

• F1 – Frequenzmodulation; ein einziger Kanal, der quantisierte oder digitale Information enthält (ohne Verwendung eines modulierenden Hilfsträgers)
• F2 – Frequenzmodulation; ein einziger Kanal, der quantisierte oder digitale Information enthält (unter Verwendung eines modulierenden Hilfsträgers)
• F3 – Frequenzmodulation; ein einziger Kanal, der analoge Information enthält

Literatur

• Jürgen Detlefsen, Uwe Siart: Grundlagen der Hochfrequenztechnik. 2. Auflage, Oldenbourg Verlag, München Wien, 2006, ISBN 3-486-57866-9
• Gregor Häberle, Heinz Häberle, Thomas Kleiber: Fachkunde Radio-, Fernseh- und Funkelektronik. 3. Auflage, Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten, 1996, ISBN 3-8085-3263-7
• Curt Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro-Techniker Band 2. 13. Auflage, Hüthig und Pflaum Verlag GmbH, Heidelberg, 1981, ISBN 3-7785-0699-4

Weblinks

• Modulationsverfahren zur Sprachübertragung – PDF (186 kB)
• Modulationsverfahren – PDF (328 kB)
• Frequenzmodulation – PDF (827 kB)
• Modulation und Rauschen – PDF (642 kB)
• FM-Demodulation – PDF (708 kB)
• Digitale und Analoge Modulationsverfahren – PDF (282 kB)

Einzelnachweise

1. ↑ John R. Carson: Notes on the Theory of Modulation. In: Proceedings of the IRE. Band 10, Nr. 1, 1922, S. 57–64. 
   Wiederabdruck: John R. Carson: Notes on the theory of modulation. In: Proceedings of the IEEE. Band 51, Nr. 6, 1963, S. 893–896. 
2. ↑ Stefan Steger, DL7MAJ: Die Modulationsarten - Theorie und praktische Anwendungen, Vortrag zur VHF-UHF 2002 in München. Abgerufen am 1. März 2015. 
3. ↑ Alexander Braun, Markus Hofbauer: Semesterarbeit über digitales Satellitenfernsehen. Zürich 1997 (HTML – Semesterarbeit am IKT der ETH Zürich). 
4. ↑ Dopplereffekt bei Lautsprechern. Abgerufen am 25. September 2018 (englisch).