Anwendung auf die Exponentialfunktion

Als Anwendungsbeispiel soll gezeigt werden, wie sich die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion aus der Cauchy-Produktformel herleiten lässt. Die Exponentialfunktion ${\displaystyle \textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$ konvergiert bekanntlich absolut. Daher kann man das Produkt ${\displaystyle e^{x}e^{y}}$ mittels des Cauchy-Produktes berechnen und erhält

${\displaystyle e^{x}e^{y}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(n-k)!}}x^{k}y^{n-k}}$

Nach Definition des Binomialkoeffizienten ${\displaystyle \textstyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ kann man das weiter umformen als

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{k}y^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(x+y)^{n}=e^{x+y}}$

wobei das vorletzte Gleichheitszeichen durch den binomischen Lehrsatz gerechtfertigt ist.

Eine divergente Reihe

Es soll das Cauchy-Produkt

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\right)}$

einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden.

Hier gilt

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}\ .}$

Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ${\displaystyle {\sqrt {ab}}\leq {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$ angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt

${\displaystyle |c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{n+2}}={\frac {2(n+1)}{n+2}}\geq 1\ .}$

Da die ${\displaystyle c_{n}}$ somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}.}$

Berechnung der inversen Potenzreihe

Mit Hilfe der Cauchy-Produktformel kann die Inverse einer Potenzreihe mit reellen oder komplexen Koeffizienten berechnet werden. Wir setzen hierfür ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ und ${\displaystyle {\frac {1}{f(z)}}=\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}z^{m}}$. Die Koeffizienten ${\displaystyle b_{m}}$ berechnen wir mithilfe von:

${\displaystyle 1=f(z)\cdot {\frac {1}{f(z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }b_{m}z^{m}=\sum _{r=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{r}a_{l}b_{r-l}\right)\cdot z^{r}\ }$,

wobei wir im letzten Schritt die Cauchy-Produktformel verwendet haben. Mit einem Koeffizientenvergleich folgt daraus:

${\displaystyle r=0:\ a_{0}b_{0}=1\Rightarrow b_{0}={\frac {1}{a_{0}}}\ .}$

${\displaystyle r=1:\ a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=0\Rightarrow b_{1}=-{\frac {a_{1}b_{0}}{a_{0}}}=-{\frac {a_{1}}{a_{0}^{2}}}.}$

${\displaystyle r=2:\ a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=0\Rightarrow b_{2}=-{\frac {a_{1}b_{1}}{a_{0}}}-{\frac {a_{2}b_{0}}{a_{0}}}={\frac {a_{1}^{2}}{a_{0}^{3}}}-{\frac {a_{2}}{a_{0}^{2}}}.}$

${\displaystyle r=3:\ a_{0}b_{3}+a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{0}=0\Rightarrow b_{3}=-{\frac {a_{1}b_{2}}{a_{0}}}-{\frac {a_{2}b_{1}}{a_{0}}}-{\frac {a_{3}b_{0}}{a_{0}}}=-{\frac {a_{1}^{3}}{a_{0}^{4}}}+{\frac {2a_{2}a_{1}}{a_{0}^{3}}}-{\frac {a_{3}}{a_{0}^{2}}}.}$

${\displaystyle \dots }$

Zur Vereinfachung und o. B. d. A. setzen wir ${\displaystyle a_{0}=1}$ und finden ${\displaystyle {\frac {1}{f(z)}}=1-a_{1}z+(a_{1}^{2}-a_{2})z^{2}+(-a_{1}^{3}+2a_{1}a_{2}-a_{3})z^{3}+\dots =\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\cdot \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}\right)^{i}}$.