Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$. Sei ${\displaystyle \vartheta _{0}\in \Theta }$ fest und sei ${\displaystyle (P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$ von ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$ dominiert, das heißt für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$ existiert eine Dichtefunktion

${\displaystyle f_{\vartheta }:={\frac {\mathrm {d} P_{\vartheta }}{\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}}}}$

von ${\displaystyle P_{\vartheta }}$ bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$.

Des Weiteren sei ${\displaystyle L^{2}(P_{\vartheta _{0}}):=L^{2}(X,{\mathcal {A}},P_{\vartheta _{0}})}$ die Menge aller bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$ quadratintegrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ${\displaystyle D_{g}}$ die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für die Parameterfunktion ${\displaystyle g}$.

Dann ist

${\displaystyle D_{g}(\vartheta _{0}):=D_{g}\cap L^{2}(P_{\vartheta _{0}})}$

die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für ${\displaystyle g}$ mit endlicher Varianz bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$ und

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\vartheta _{0}}:=\{f_{\vartheta }\,|\,f_{\vartheta }\in L^{2}(P_{\vartheta _{0}})\}}$

die Menge aller Dichtefunktionen mit endlicher Varianz bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$.

Aussage

Es gilt für alle ${\displaystyle T\in D_{g}(\vartheta _{0})}$:

${\displaystyle \operatorname {Var} _{\vartheta _{0}}(T)\geq \sup _{f_{\vartheta }\in {\mathcal {F}}_{\vartheta _{0}}}{\frac {\left(g(\vartheta )-g(\vartheta _{0})\right)^{2}}{\operatorname {Var} _{\vartheta _{0}}(f_{\vartheta })}}}$