Die Chern-Simons-Formen sind bei der Definition von sekundären charakteristischen Klassen verwendete Differentialformen, die in der Mathematik in Differentialgeometrie und Differentialtopologie in verschiedenen Zusammenhängen vorkommen, insbesondere in Eichtheorien. Die Chern-Simons-3-Form definiert das Wirkungsfunktional der Chern-Simons-Theorie. Sie sind benannt nach Shiing-Shen Chern und James Harris Simons, den Autoren der 1974 veröffentlichten Arbeit Characteristic Forms and Geometric Invariants.

Definition

Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Riemannsche Zusammenhang

${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P(M),{\mathfrak {gl}}(n))}$

ist eine Lie-Algebra-wertige 1-Form auf dem Rahmenbündel ${\displaystyle P(M)}$.

Die Chern-Simons-1-Form wird definiert durch

${\displaystyle \operatorname {Tr} [\mathbf {A} ]}$,

wobei Tr die Spur von Matrizen bezeichnet.

Die Chern-Simons-3-Form wird definiert durch

${\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}$

Die Chern-Simons-5-Form wird definiert durch

${\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]}$

wobei die Krümmung ${\displaystyle \mathbf {F} }$ definiert ist durch

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

Die allgemeine Chern-Simons-Form ${\displaystyle \omega _{2k-1}}$ ist definiert, so dass

${\displaystyle d\omega _{2k-1}=\operatorname {Tr} \left(\mathbf {F} ^{k}\right),}$

wobei ${\displaystyle \mathbf {F} ^{k}}$ durch das äußere Produkt von Differentialformen definiert wird.

Falls ${\displaystyle M}$ eine parallelisierbare 2k-1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (zum Beispiele eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit), dann gibt es einen Schnitt ${\displaystyle s:M\rightarrow P(M)}$ und das Integral von ${\displaystyle s^{*}\omega _{2k-1}}$ über die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist eine globale Invariante, die modulo der Addition ganzer Zahlen wohldefiniert ist. (Für verschiedene Schnitte unterscheiden sich die Integrale nur um ganze Zahlen.) Die so definierte Invariante ist die Chern-Simons-Invariante

${\displaystyle \operatorname {cs} (M)\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$.

Allgemeine Definition für Prinzipalbündel und invariante Polynome

Sei ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle f\in I^{k}({\mathfrak {g}})}$ ein invariantes Polynom.

Jedem invarianten Polynom ${\displaystyle f}$ entspricht eine Chern-Simons-Form von ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündeln wie folgt.

Sei ${\displaystyle \pi :P\rightarrow M}$ ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe ${\displaystyle G}$. Man wähle eine Zusammenhangsform ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$ und bezeichne mit ${\displaystyle \Omega \in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})}$ ihre Krümmungsform. Dann ist die Chern-Simons-Form ${\displaystyle Tf\in \Omega ^{2k-1}(P,\mathbb {R} )}$ definiert durch

${\displaystyle Tf=\sum _{i=0}^{k-1}A_{i}f\left(\omega \wedge [\omega ,\omega ]^{i}\wedge \Omega ^{k-i-1}\right)}$

mit ${\displaystyle A_{i}:=(-1)^{i}{\frac {k!(k-1)!}{2^{i}(k+i)!(k-1-i)!}}}$.

Im Fall flacher Bündel vereinfacht sich diese Formel zu ${\displaystyle (-1)^{k-1}{\frac {k!(k-1)!}{2^{k-1}(2k-1)!}}f\left(\omega \wedge [\omega ,\omega ]^{k-1}\right)}$.

Es gilt die Gleichung

${\displaystyle dTf=f(\Omega ,\ldots ,\Omega )}$,

im Fall flacher Bündel also ${\displaystyle dTf=0}$.

Bekanntlich entspricht jede charakteristische Klasse ${\displaystyle u\in H^{*}(BG,\mathbb {Z} )}$ einem invarianten Polynom, siehe Chern-Weil-Theorie. Falls ${\displaystyle f(\Omega ,\ldots ,\Omega )=0}$, dann verschwindet nach Chern-Weil-Theorie die entsprechende charakteristische Klasse ${\displaystyle u_{f}}$ in reeller Kohomologie. Die Form ${\displaystyle Tf}$ ist in diesem Fall geschlossen und definiert zunächst eine Klasse in der Kohomologie von ${\displaystyle P}$. Zurückziehen mittels eines Schnittes definiert eine Kohomologieklasse von ${\displaystyle M}$, welche modulo ganzer Zahlen wohldefiniert ist. Die so definierte Kohomologieklasse in ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ passt in die Bockstein-Folge

${\displaystyle H^{2k-1}(M,\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\rightarrow H^{2k}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{2k}(M,\mathbb {R} )}$,

wo sie auf die charakteristische Klasse ${\displaystyle u_{f}}$ abgebildet wird, deren Bild in reeller Kohomologie verschwindet.

Siehe auch

• Chirale Anomalie
• Jones-Polynom

Quellen

• Chern, S.-S.; Simons, J.: Characteristic forms and geometric invariants. The Annals of Mathematics, Second Series 99, 1974, S. 48–69.