Vorgehensweise

Es liegen ${\displaystyle n}$ unabhängige Beobachtungen ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ des Merkmals ${\displaystyle X}$ vor, die in ${\displaystyle m}$ verschiedene Kategorien fallen. Treten bei einem Merkmal sehr viele Ausprägungen auf, fasst man sie zweckmäßigerweise in ${\displaystyle m}$ Klassen zusammen und fasst die Klassen als Kategorien auf. Die Anzahl der Beobachtungen in der ${\displaystyle j}$-ten Kategorie ist die beobachtete Häufigkeit ${\displaystyle N_{j}}$.

Man überlegt sich nun, wie viele Beobachtungen im Mittel in einer Kategorie liegen müssten, wenn ${\displaystyle X}$ tatsächlich die hypothetische Verteilung besäße. Dazu berechnet man zunächst die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p_{0j}}$, dass eine Ausprägung von ${\displaystyle X}$ in die Kategorie ${\displaystyle j}$ fällt. Die unter ${\displaystyle H_{0}}$ zu erwartende absolute Häufigkeit ist:

${\displaystyle n_{0j}=p_{0j}\cdot n}$

Wenn die in der vorliegenden Stichprobe beobachteten Häufigkeiten ${\displaystyle N_{j}}$ „zu stark“ von den erwarteten Häufigkeiten abweichen, wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Prüfgröße für den Test

${\displaystyle X^{2}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {(N_{j}-n_{0j})^{2}}{n_{0j}}}}$

misst die Größe der Abweichung.

Die Prüfgröße ${\displaystyle X^{2}}$ ist bei ausreichend großen ${\displaystyle N_{j}}$ annähernd Chi-Quadrat-verteilt mit ${\displaystyle m-1}$ Freiheitsgraden. Wenn die Nullhypothese wahr ist, sollte der Unterschied zwischen der beobachteten und der theoretisch erwarteten Häufigkeit klein sein. Also wird ${\displaystyle H_{0}}$ bei einem hohen Prüfgrößenwert abgelehnt. Der Ablehnungsbereich für ${\displaystyle H_{0}}$ liegt rechts.

Bei einem Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ wird ${\displaystyle H_{0}}$ abgelehnt, wenn ${\displaystyle X^{2}>\chi _{(1-\alpha ;m-1)}^{2}}$ gilt, wenn also der aus der Stichprobe erhaltene Wert der Prüfgröße größer als das ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Quantil der ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Verteilung mit ${\displaystyle m-1}$ Freiheitsgraden ist.

Es existieren Tabellen der ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Quantile (kritische Werte) in Abhängigkeit von der Anzahl der Freiheitsgrade und vom gewünschten Signifikanzniveau (siehe unten).

Soll das Signifikanzniveau, das zu einem bestimmten ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Wert gehört, bestimmt werden, so muss in der Regel aus der Tabelle ein Zwischenwert berechnet werden. Dazu verwendet man logarithmische Interpolation.

Besonderheiten

Beispiel zum Verteilungstest

Es liegen von ca. 200 börsennotierten Unternehmen die Umsätze vor. Das folgende Histogramm zeigt ihre Verteilung.

Es sei ${\displaystyle X}$ der Umsatz eines Unternehmens [Mio. €].

Es soll nun die Hypothese getestet werden, dass ${\displaystyle X}$ normalverteilt ist.

Da die Daten in vielen verschiedenen Ausprägungen vorliegen, wurden sie in Klassen eingeteilt. Es ergab sich die Tabelle:

Da keine Parameter vorgegeben werden, werden sie aus der Stichprobe ermittelt. Es sind geschätzt

${\displaystyle {\hat {\mu }}={\bar {x}}=6892}$

und

${\displaystyle {\hat {\sigma }}=s=14984.}$

Es wird getestet:

${\displaystyle H_{0}}$: ${\displaystyle X}$ ist normalverteilt mit dem Erwartungswert ${\displaystyle \mu =6892}$ und der Standardabweichung ${\displaystyle \sigma =14984}$.

Um die unter ${\displaystyle H_{0}}$ erwarteten Häufigkeiten zu bestimmen, werden zunächst die Wahrscheinlichkeiten berechnet, dass ${\displaystyle X}$ in die vorgegebenen Klassen fällt. Man errechnet dann

${\displaystyle p_{01}=P(X\leq 0\vert H_{0})=P\left(\left.{\frac {X-\mu }{\sigma }}\leq -{\frac {\mu }{\sigma }}\right|H_{0}\right)=P(Z\leq -{\tfrac {6892}{14984}})=\Phi \left(-0{,}46\right)=0{,}3228.}$

Darin ist ${\displaystyle Z}$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable und ${\displaystyle \Phi }$ ihre Verteilungsfunktion. Analog errechnet man:

${\displaystyle p_{02}=P(0<X\leq 5000\vert H_{0})=P\left(\left.-{\frac {\mu }{\sigma }}<{\frac {X-\mu }{\sigma }}\leq {\frac {5000-\mu }{\sigma }}\right|H_{0}\right)=}$

${\displaystyle =P\left(-{\tfrac {6892}{14984}}<Z\leq {\tfrac {5000-6892}{14984}}\right)=\Phi \left(-0{,}126\right)-\Phi \left(-0{,}46\right)=0{,}1270}$

…

Daraus ergeben sich die erwarteten Häufigkeiten

${\displaystyle n_{01}=p_{01}\cdot n=0{,}3228\cdot 197=63{,}59}$

${\displaystyle n_{02}=p_{02}\cdot n=0{,}1270\cdot 197=25{,}02}$

…

Es müssten also beispielsweise ca. 25 Unternehmen im Mittel einen Umsatz zwischen 0 € und 5000 € haben, wenn das Merkmal Umsatz tatsächlich normalverteilt ist.

Die erwarteten Häufigkeiten sind zusammen mit den beobachteten Häufigkeiten in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Die Prüfgröße wird jetzt folgendermaßen ermittelt:

${\displaystyle X^{2}={\frac {(0-63,59)^{2}}{63{,}59}}+{\frac {(148-25{,}02)^{2}}{25{,}02}}+\dotsb +{\frac {(9-5{,}98)^{2}}{5{,}98}}=710{,}79.}$

Bei einem Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha =0{,}05}$ liegt der kritische Wert der Testprüfgröße bei ${\displaystyle \chi _{(0{,}95;9-3=6)}^{2}=12{,}59}$. Da ${\displaystyle X^{2}>12{,}59}$, wird die Nullhypothese abgelehnt. Man kann davon ausgehen, dass das Merkmal Umsatz in der Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist (was plausibel ist, da keine negativen Umsätze gemeldet wurden, die in einer Normalverteilung ebenfalls zu erwarten sind).

Chi-Quadrat-Verteilungstest in der Rechtsprechung

In Deutschland wurde der Chi-Quadrat-Verteilungstest im Rahmen der Anwendung des Benfordschen Gesetzes gerichtlich als Mittel einer Finanzbehörde bestätigt, die Ordnungsmäßigkeit der Kassenführung zu beanstanden. Konkret wurde die Häufigkeitsverteilung von Ziffern in Kassenbucheintragungen mit dem Chi-Quadrat-Test untersucht, woraus sich ein „starkes Indiz für Manipulationen bei den Einnahmeaufzeichnungen“ ergab. Allerdings ist die Anwendbarkeit Einschränkungen unterworfen und gegebenenfalls müssen andere statistische Verfahren benutzt werden (siehe Benfordsches Gesetz).

Vorgehensweise

Die Beobachtungen von ${\displaystyle X}$ liegen in ${\displaystyle m}$ Kategorien ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (j=1,\dotsc ,m)}$ vor, die des Merkmals ${\displaystyle Y}$ in ${\displaystyle r}$ Kategorien ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k=1,\dotsc ,r)}$. Treten bei einem Merkmal sehr viele Ausprägungen auf, fasst man sie zweckmäßigerweise zu Klassen ${\displaystyle j}$ zusammen und fasst die Klassenzugehörigkeit als ${\displaystyle j}$-te Kategorie auf. Es gibt insgesamt ${\displaystyle n}$ paarweise Beobachtungen von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$, die sich auf ${\displaystyle m\cdot r}$ Kategorien verteilen.

Konzeptionell ist der Test so aufzufassen:

Man betrachte zwei diskrete Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitstabelle dargestellt werden können.

Man zählt nun, wie oft die ${\displaystyle j}$-te Ausprägung von ${\displaystyle X}$ zusammen mit der ${\displaystyle k}$-ten Ausprägung von ${\displaystyle Y}$ auftritt. Die beobachteten gemeinsamen absoluten Häufigkeiten ${\displaystyle n_{jk}}$ können in einer zweidimensionalen Häufigkeitstabelle mit ${\displaystyle m}$ Zeilen und ${\displaystyle r}$ Spalten eingetragen werden.

	Merkmal ${\displaystyle Y}$						Summe Σ
Merkmal ${\displaystyle X}$	1	2	…	k	…	r	nj.
1	n11	n12	…	n1k	…	n1r	n1.
2	n21	n22	…	n2k	…	n2r	n2.
…	…	…	…	…	…	…	…
j	nj1	…	…	njk	…	…	nj.
…	…	…	…	…	…	…	…
m	nm1	nm2	…	nmk	…	nmr	nm.
Summe Σ	n.1	n.2	…	n.k	…	n.r	n

Die Zeilen- bzw. Spaltensummen ergeben die absoluten Randhäufigkeiten ${\displaystyle n_{j\,\cdot }}$ bzw. ${\displaystyle n_{\cdot \,k}}$ als

${\displaystyle n_{j\,\cdot }=\sum _{k=1}^{r}n_{jk}}$ und ${\displaystyle n_{\cdot \,k}=\sum _{j=1}^{m}n_{jk}}$

Entsprechend sind die gemeinsamen relativen Häufigkeiten ${\displaystyle p_{jk}=n_{jk}/n}$ und die relativen Randhäufigkeiten ${\displaystyle p_{j\,\cdot }=n_{j\,\cdot }/n}$ und ${\displaystyle p_{\cdot \,k}=n_{\cdot \,k}/n}$.

Wahrscheinlichkeitstheoretisch gilt: Sind zwei Ereignisse ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ stochastisch unabhängig, ist die Wahrscheinlichkeit für ihr gemeinsames Auftreten gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$

Man überlegt sich nun, dass analog zu oben bei stochastischer Unabhängigkeit von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ auch gelten müsste

${\displaystyle p_{jk}\approx p_{j\,\cdot }\cdot p_{\cdot \,k},}$

mit ${\displaystyle n}$ multipliziert entsprechend

${\displaystyle n_{jk}\approx {\frac {n_{j\,\cdot }\cdot n_{\cdot \,k}}{n}}}$ oder auch

${\displaystyle n_{jk}-{\frac {n_{j\,\cdot }\cdot n_{\cdot \,k}}{n}}\approx 0.}$

Sind diese Differenzen für sämtliche ${\displaystyle j,k}$ klein, kann man vermuten, dass ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ tatsächlich stochastisch unabhängig sind.

Setzt man für die erwartete Häufigkeit bei Vorliegen von Unabhängigkeit

${\displaystyle n_{jk}^{*}={\frac {n_{j\,\cdot }\cdot n_{\cdot \,k}}{n}},}$

resultiert aus der obigen Überlegung die Prüfgröße für den Unabhängigkeitstest

${\displaystyle X^{2}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{r}{\frac {(n_{jk}-n_{jk}^{*})^{2}}{n_{jk}^{*}}}.}$

Die Prüfgröße ${\displaystyle X^{2}}$ ist bei ausreichend großen erwarteten Häufigkeiten ${\displaystyle n_{jk}^{*}}$ annähernd Chi-Quadrat-verteilt mit ${\displaystyle (m-1)(r-1)}$ Freiheitsgraden.

Wenn die Prüfgröße klein ist, wird vermutet, dass die Hypothese wahr ist. Also wird ${\displaystyle H_{0}}$ bei einem hohen Prüfgrößenwert abgelehnt, der Ablehnungsbereich für ${\displaystyle H_{0}}$ liegt rechts.

Bei einem Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ wird ${\displaystyle H_{0}}$ abgelehnt, wenn ${\displaystyle X^{2}>\chi _{(1-\alpha$ ;(m-1)(r-1))}^{2}} , dem ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit ${\displaystyle (m-1)(r-1)}$ Freiheitsgraden ist.

Besonderheiten

Damit die Prüfgröße als annähernd Chi-Quadrat-verteilt betrachtet werden kann, muss jede erwartete Häufigkeit ${\displaystyle n_{jk}^{*}}$ eine gewisse Mindestgröße haben. Verschiedene Lehrwerke setzen diese bei 1 oder 5 an. Ist die erwartete Häufigkeit zu klein, können gegebenenfalls mehrere Klassen zusammengefasst werden, um die Mindestgröße zu erreichen.

Alternativ kann die Stichprobenverteilung der Teststatistik auf Basis der gegebenen Randverteilungen und der Annahme der Unabhängigkeit der Merkmale per Bootstrapping-Verfahren untersucht werden.

Beispiel zum Unabhängigkeitstest

Im Rahmen des Qualitätsmanagements wurden die Kunden einer Bank befragt, unter anderem nach ihrer Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung und nach der Gesamtzufriedenheit. Der Grad der Zufriedenheit richtete sich nach dem Schulnotensystem.

Aus den Daten ergibt sich die folgende Kreuztabelle der Gesamtzufriedenheit von Bankkunden versus ihrer Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung. Man sieht, dass einige erwartete Häufigkeiten zu klein waren.

Eine Reduzierung der Kategorien auf jeweils drei durch Zusammenfassung der Noten 3–6 auf eine neue Gesamtnote 3 ergab methodisch korrekte Ergebnisse.

Die folgende Tabelle enthält die erwarteten Häufigkeiten ${\displaystyle n_{jk}^{*}}$, die sich so berechnen:

${\displaystyle n_{11}^{*}={\frac {102\cdot 270}{621}}=44{,}35\quad n_{12}^{*}={\frac {102\cdot 273}{621}}=44{,}84\quad \dotsb \quad n_{33}^{*}={\frac {160\cdot 78}{621}}=20{,}10}$

	Merkmal ${\displaystyle Y}$
Merkmal ${\displaystyle X}$	1	2	3	Σ
1	44,35	44,84	12,81	102
2	156,09	157,82	45,09	359
3	69,57	70,34	20,10	160
Σ	270	273	78	621

Die Prüfgröße wird dann folgendermaßen ermittelt:

${\displaystyle X^{2}={\frac {(86-44{,}35)^{2}}{44{,}35}}+{\frac {(16-44{,}84)^{2}}{44{,}84}}+\dotsb +{\frac {(53-20{,}10)^{2}}{20{,}10}}=167{,}187}$

Bei einem ${\displaystyle \alpha =0{,}05}$ liegt der kritische Wert der Testprüfgröße bei ${\displaystyle \chi ^{2}(0{,}95;4)=9{,}488}$. Da ${\displaystyle X^{2}>9{,}488}$ ist, wird die Hypothese signifikant abgelehnt, man vermutet also, dass die Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung und die Gesamtzufriedenheit assoziiert sind.

Vorgehensweise

Die untersuchte Zufallsvariable (das Merkmal), z. B. Antwort auf „die Sonntagsfrage“, sei ${\displaystyle k}$-fach gestuft, d. h., es gibt ${\displaystyle k}$ Merkmalskategorien (das Merkmal besitzt ${\displaystyle k}$ Ausprägungen), z. B. SPD, CDU, B90/Grüne, FDP, Die Linke und Andere (d. h., ${\displaystyle k=6}$). Die Stichproben ${\displaystyle X_{i}}$ können z. B. die Umfrageergebnisse verschiedener Meinungsforschungsinstitute sein. Von Interesse könnte dann sein zu prüfen, ob sich die Umfrageergebnisse signifikant unterscheiden.

Die beobachteten Häufigkeiten je Stichprobe (Umfrage) und Merkmalskategorie (genannte Partei) ${\displaystyle n_{ij}}$ werden in eine entsprechende ${\displaystyle m\times k}$-Kreuztabelle eingetragen (hier 3×3):

	Merkmalskategorie ${\displaystyle j}$
Stichprobe ${\displaystyle X_{i}}$	Kategorie 1	Kategorie 2	Kategorie 3	Summe
${\displaystyle X_{1}}$	${\displaystyle n_{11}}$	${\displaystyle n_{12}}$	${\displaystyle n_{13}}$	${\displaystyle n_{11}+n_{12}+n_{13}=n_{1\bullet }}$
${\displaystyle X_{2}}$	${\displaystyle n_{21}}$	${\displaystyle n_{22}}$	${\displaystyle n_{23}}$	${\displaystyle n_{21}+n_{22}+n_{23}=n_{2\bullet }}$
${\displaystyle X_{3}}$	${\displaystyle n_{31}}$	${\displaystyle n_{32}}$	${\displaystyle n_{33}}$	${\displaystyle n_{31}+n_{32}+n_{33}=n_{3\bullet }}$
Summe	${\displaystyle n_{11}+n_{21}+n_{31}=n_{\bullet 1}}$	${\displaystyle n_{12}+n_{22}+n_{32}=n_{\bullet 2}}$	${\displaystyle n_{13}+n_{23}+n_{33}=n_{\bullet 3}}$	${\displaystyle n_{1\bullet }+n_{2\bullet }+n_{3\bullet }=n}$

Untersucht werden nun die Abweichungen zwischen den beobachteten (empirischen) Häufigkeits- bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Stichproben über die Kategorien des Merkmals. Die beobachteten Zellhäufigkeiten ${\displaystyle n_{ij}}$ werden mit den Häufigkeiten verglichen, die bei Gültigkeit der Nullhypothese zu erwarten wären.

Aus den Randverteilungen werden die unter Gültigkeit der Nullhypothese einer homogenen Grundgesamtheit erwarteten Zellhäufigkeiten bestimmt:

${\displaystyle E_{ij}=n_{i\bullet }\cdot {\frac {n_{\bullet j}}{n}}}$

bezeichnet die erwartete Anzahl von Beobachtungen (absolute Häufigkeit) von Stichprobe ${\displaystyle i}$ in Kategorie ${\displaystyle j}$.

Anhand der so errechneten Größen wird folgende approximativ Chi-Quadrat-verteilte Prüfgröße berechnet:

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{j=1}^{k}\sum _{i=1}^{m}{\frac {(n_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}}}$

Um zu einer Testentscheidung zu gelangen, wird der erhaltene Wert der Prüfgröße mit dem zugehörigen kritischen Wert verglichen, d. h. mit dem von der Anzahl der Freiheitsgrade und dem Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ abhängigen Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung (alternativ kann der p-Wert bestimmt werden). Sind die Abweichungen zwischen mindestens zwei Stichprobenverteilungen signifikant, wird die Nullhypothese verworfen, d. h. die Nullhypothese der Homogenität wird abgelehnt, falls

${\displaystyle X^{2}>\chi _{(k-1)(m-1);1-\alpha }^{2}}$.

Der Ablehnungsbereich für ${\displaystyle H_{0}}$ liegt rechts vom kritischen Wert.

Anwendungsbedingungen

Damit die Prüfgröße als näherungsweise (approximativ) Chi-Quadrat-verteilt betrachtet werden kann, müssen folgende Approximationsbedingungen gelten:

• „großer“ Stichprobenumfang (${\displaystyle n>30}$)
• ${\displaystyle E_{ij}\geq 1}$ für alle ${\displaystyle i,j}$
• min. 80 % der ${\displaystyle E_{ij}>5}$
• Rinne (2003) und Voß (2000) fordern zusätzlich Zellhäufigkeiten ${\displaystyle n_{ij}\geq 10}$ 

Sind einige erwartete Häufigkeiten zu klein, müssen mehrere Klassen bzw. Merkmalskategorien zusammengefasst werden, um die Approximationsbedingungen einzuhalten.

Besitzt die untersuchte Zufallsvariable sehr viele (mögliche) Ausprägungen, z. B. weil die Variable metrisch stetig ist, fasst man diese zweckmäßigerweise in ${\displaystyle m}$ Klassen (=Kategorien) zusammen, um die nun klassierte Zufallsvariable mit dem Chi-Quadrat-Test untersuchen zu können. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass die Art und Weise der Klassierung der Beobachtungen das Testergebnis beeinflussen kann.

Vergleich zu Unabhängigkeits- und Verteilungstest

Der Homogenitätstest kann auch als Unabhängigkeitstest interpretiert werden, wenn man die Stichproben als Ausprägungen eines zweiten Merkmals ansieht. Auch kann er als eine Form des Verteilungstests angesehen werden, bei der nicht eine empirische und eine theoretische Verteilung, sondern mehrere empirische Verteilungen verglichen werden. Unabhängigkeitstest und Verteilungstest sind jedoch Einstichprobenprobleme, während der Homogenitätstest ein Mehrstichprobenproblem darstellt. Beim Unabhängigkeitstest wird eine einzige Stichprobe bzgl. zweier Merkmale erhoben, beim Verteilungstest eine Stichprobe bzgl. eines Merkmals. Beim Homogenitätstest werden mehrere Stichproben bzgl. eines Merkmals erhoben.

Vorgehensweise

Der Vierfeldertest beruht auf einer (2×2)-Kontingenztafel, die die (bivariate) Häufigkeitsverteilung zweier Merkmale visualisiert:

Laut einer Faustformel muss der Erwartungswert aller vier Felder mindestens 5 betragen. Der Erwartungswert wird dabei berechnet aus Zeilensumme*Spaltensumme/Gesamtzahl. Bei einem Erwartungswert kleiner 5 empfehlen Statistiker den Exakten Fisher-Test.

Beispiele und Anwendungen

Bei der Frage, ob eine medizinische Maßnahme wirksam ist oder nicht, ist der Vierfeldertest sehr hilfreich, da er sich auf das Hauptentscheidungskriterium konzentriert.