Triviale Geradenlösungen

Für jedes ${\displaystyle c}$ im Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$ sind die Geraden

${\displaystyle \ y(x):=cx+f(c)}$

Lösungen der clairautschen Differentialgleichung.

Nichttriviale Lösungen

Sei ${\displaystyle f}$ differenzierbar sowie ${\displaystyle c}$ eine differenzierbare Funktion, welche der impliziten Gleichung

${\displaystyle f\;'(c(x))+x=0}$

genügt. Dann ist

${\displaystyle \ y(x):=xc(x)+f(c(x))}$

eine Lösung der clairautschen Differentialgleichung.

Beweis

Für die Geraden gilt ${\displaystyle y'(x)\equiv c}$, also

${\displaystyle xy'(x)+f(y'(x))=cx+f(c)=y(x)\ .}$

Im Fall der nichttrivialen Lösungen gilt

${\displaystyle {\begin{array}{lll}xy'(x)+f(y'(x))&=&x[xc'(x)+c(x)+f'(c(x))c'(x)]+f(xc'(x)+c(x)+f'(c(x))c'(x))\\&=&xc(x)+f(c(x))=y(x)\ .\\\end{array}}}$

${\displaystyle \Box }$

Beweis

Die Tangente ${\displaystyle T}$ der nichttrivialen Lösung ${\displaystyle y(x)=xc(x)+f(c(x))}$ durch den Punkt ${\displaystyle (x_{0}\ |\ y(x_{0}))}$ ist durch die Gleichung

${\displaystyle {\begin{array}{lll}T(x)&=&y'(x_{0})(x-x_{0})+y(x_{0})\\&=&[x_{0}c'(x_{0})+c(x_{0})+f'(c(x_{0}))c'(x_{0})](x-x_{0})+[x_{0}c(x_{0})+f(c(x_{0}))]\\&=&c(x_{0})(x-x_{0})+c(x_{0})x_{0}+f(c(x_{0}))=c(x_{0})x+f(c(x_{0}))\ \\\end{array}}}$

${\displaystyle \Box }$

gegeben. Wenn die nichttriviale Lösung strikt konvex bzw. strikt konkav ist, so trennt sie die Ebene daher in einen Bereich, in dem durch jeden Punkt zwei Geradenlösungen laufen, und einen Bereich, der frei von Lösungen ist; sie wird dann als Einhüllende bezeichnet. Lösungen sind dann nicht nur die Einhüllende selbst und die Geradenlösungen, sondern auch Lösungskurven, die stückweise auf Geraden und stückweise auf der Einhüllenden verlaufen.