Für endliche abelsche Gruppen

Für den Isomorphietyp der zyklischen Gruppe mit ${\displaystyle m}$ Elementen, ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} ,+)}$ wird im Folgenden abkürzenden ${\displaystyle C_{m}}$ geschrieben, Gruppen werden, wie in der Theorie der endlichen Gruppen üblich „multiplikativ“ geschrieben, die direkten Summen aus dem Hauptsatz demgemäß als direkte Produkte.

Jede endliche, nicht triviale, abelsche p-Gruppe ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle p}$ positive Primzahl) hat als Gruppenordnung eine Potenz ${\displaystyle p^{n},n\in \mathbb {N} .}$ Zu jeder Zahlpartition von ${\displaystyle n}$ existiert bis auf Isomorphie genau eine abelsche Gruppe mit ${\displaystyle p^{n}}$ Elementen. Die Anzahl der Zahlpartitionen kann mit der Partitionsfunktion ${\displaystyle P(n)}$ angegeben werden.

Beispiel

• Zur Gruppenordnung ${\displaystyle 16=2^{4}}$ existieren genau ${\displaystyle P(4)=5}$ verschiedene Isomorphietypen von abelschen Gruppen

${\displaystyle {C_{2}}^{4}}$ zur Partition ${\displaystyle 4=1+1+1+1}$, ${\displaystyle C_{4}\times {C_{2}}^{2}}$ zur Partition ${\displaystyle 4=2+1+1}$, ${\displaystyle {C_{4}}^{2}}$ zur Partition ${\displaystyle 4=2+2}$, ${\displaystyle C_{8}\times C_{2}}$ zur Partition ${\displaystyle 4=3+1}$ und ${\displaystyle C_{16}}$ zur Partition ${\displaystyle 4=4}$.

Zusammen mit der Aussage aus der elementaren Zahlentheorie ${\displaystyle C_{r}\times C_{s}\cong C_{r\cdot s}}$ genau dann, wenn ${\displaystyle r,s}$ teilerfremd sind, ergibt sich:

• Genau dann, wenn ${\displaystyle N}$ eine quadratfreie natürliche Zahl ist, das heißt, wenn für keine Primzahl ${\displaystyle p}$ das Quadrat ${\displaystyle p^{2}}$ ein Teiler von ${\displaystyle N}$ ist, gibt es bis auf Isomorphie nur eine abelsche Gruppe ${\displaystyle G}$ mit ${\displaystyle N}$ Elementen. Die Gruppe ist dann zyklisch und es gilt ${\displaystyle G\cong C_{N}}$
• Ist ${\displaystyle N={p_{1}}^{r_{1}}\cdot {p_{2}}^{r_{2}}\cdot \cdots \cdot {p_{k}}^{r_{k}}}$ die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle N}$, dann existieren bis auf Isomorphie genau ${\displaystyle P(r_{1})\cdot P(r_{2})\cdot \cdots \cdot P(r_{k})}$ abelsche Gruppen mit ${\displaystyle N}$ Elementen. (${\displaystyle P(r_{1})}$ usw. ist dabei jeweils die Partitionsfunktion.)

Jede solche Gruppe besitzt ein Erzeugendensystem aus höchstens ${\displaystyle R:=\max(r_{1},r_{2},\ldots r_{k})}$ Gruppenelementen.

• Jede endliche abelsche Gruppe ${\displaystyle G}$ mit der Gruppenordnung ${\displaystyle N}$ ist isomorph zu einem direkten Produkt

${\displaystyle C_{m_{1}}\times C_{m_{2}}\times \cdots \times C_{m_{s}},}$ dabei gilt ${\displaystyle m_{1}>1}$, ${\displaystyle m_{k}}$ teilt stets ${\displaystyle m_{k+1}}$ für ${\displaystyle 1\leq k<s}$ und für das Produkt aller dieser Zahlen gilt ${\displaystyle m_{1}\cdot m_{2}\cdot \cdots m_{s}=N}$.

• Die angegebene Produktdarstellung ist durch die Gruppe ${\displaystyle G}$ und die Teilbarkeitsforderung eindeutig bestimmt.
• Die maximale Ordnung eines Gruppenelements ist ${\displaystyle M=m_{s}}$, für alle Gruppenelemente ${\displaystyle g\in G}$ gilt ${\displaystyle g^{M}=e}$ und jede andere natürliche Zahl ${\displaystyle K}$, für die ${\displaystyle g^{K}=e}$ für alle Gruppenelemente ${\displaystyle g\in G}$ gilt, ist ein Vielfaches von ${\displaystyle M}$.
• Die Gruppe besitzt ein Erzeugendensystem aus ${\displaystyle s}$ Gruppenelementen und jedes Erzeugendensystem enthält mindestens ${\displaystyle s}$ Elemente. Die angegebene Darstellung ist insoweit eine „minimale Produktdarstellung“ der Gruppe.

Beispiele

• Die abelsche Gruppe ${\displaystyle G}$ habe den Isomorphietyp ${\displaystyle G\cong {C_{2}}^{2}\times C_{3}\times C_{4}\times {C_{9}}^{2}\times {C_{27}}^{2}}$ gemäß der Darstellung im Hauptsatz. Mit Hilfe einer sortierten Tabelle der auftretenden Primzahlpotenzordnungen erhält man daraus die genannte „minimale Produktdarstellung“:

Dabei sortiert man nach aufsteigenden Exponenten der Primzahlpotenz und füllt in Zeilen, die weniger als 5 Potenzen enthalten, von vorn mit 1 auf. Die letzte Zeile, in der die Produkte der Spalten stehen, enthält dann die aufsteigende Kette von Teilern. Das ergibt ${\displaystyle G\cong C_{3}\times C_{9}\times C_{18}\times C_{54}\times C_{108}}$, gemäß der genannten Darstellung mit aufsteigenden Teilern, man kommt also für diese Gruppe mit einem Erzeugendensystem aus fünf Gruppenelementen aus – 5 ist die maximale Anzahl von p-Gruppen zu einer Primzahl (hier p=3), die in der Produktdarstellung gemäß dem Hauptsatz vorkommen!

• Für die abelsche Gruppe ${\displaystyle G=C_{3}\times C_{6}\times C_{6}\times C_{60}}$

tabelliert man zunächst die aufsteigenden Teiler, faktorisiert sie nach den auftretenden Primzahlpotenzen und erhält so die Darstellung gemäß Hauptsatz ${\displaystyle G\cong {C_{2}}^{2}\times {C_{3}}^{4}\times C_{4}\times C_{5}}$. Ein minimales Erzeugendensystem dieser Gruppe enthält vier Elemente.