Der Dichtheitssatz von Borel (engl.: Borel density theorem) ist ein Lehrsatz der Mathematik, der Gitter in algebraischen Gruppen, wie zum Beispiel ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$ in ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$, charakterisiert.

Er besagt, dass jede auf einem Gitter ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ verschwindende polynomielle Funktion auf der gesamten algebraischen Gruppe ${\displaystyle G}$ identisch 0 sein muss.

Satz

Sei ${\displaystyle G}$ eine zusammenhängende halbeinfache ${\displaystyle \mathbb {R} }$-algebraische Gruppe ohne kompakten Faktor, und sei ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ein Gitter in ${\displaystyle G}$.

Dann ist ${\displaystyle \Gamma }$ Zariski-dicht in ${\displaystyle G}$.

Anwendungen

Im Folgenden setzen wir voraus, dass ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle \Gamma }$ die Voraussetzungen des Dichtheitssatzes erfüllen.

• Wenn ${\displaystyle \phi \colon G\to GL(m,\mathbb {R} )}$ eine irreduzible polynominelle Darstellung von ${\displaystyle G}$ ist, dann ist die Einschränkung von ${\displaystyle \phi }$ auf ${\displaystyle \Gamma }$ ebenfalls eine irreduzible Darstellung.
• Wenn eine zusammenhängende, abgeschlossene Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}$ von ${\displaystyle \Gamma }$ normalisiert wird, dann ist sie ein Normalteiler von ${\displaystyle G}$.
• Der Zentralisator von ${\displaystyle \Gamma }$ in ${\displaystyle G}$ ist das Zentrum ${\displaystyle Z(G)}$ von ${\displaystyle G}$.
• Jeder endliche Normalteiler von ${\displaystyle \Gamma }$ ist in ${\displaystyle Z(G)}$ enthalten.
• ${\displaystyle \Gamma }$ ist eine Untergruppe von endliche Index in seinem Normalisator.
• Es gibt eine Zerlegung ${\displaystyle G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}}$, so dass ${\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma \cap G_{i}}$ ein irreduzibles Gitter in ${\displaystyle G_{i}}$ und ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \ldots \times \Gamma _{r}}$ mit ${\displaystyle \Gamma }$ kommensurabel ist.
• Für polynomiale Funktionen ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} \left[x_{11},\ldots ,x_{nn}\right]}$ auf ${\displaystyle Mat(n\times ,n,\mathbb {R} )}$ gilt:

${\displaystyle Q(\Gamma )=0\Longrightarrow Q(G)=0.}$

Literatur

• Armand Borel: Density properties for certain subgroups of semi-simple groups without compact components. Ann. of Math. (2) 72, 179–188, 1960.
• M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 68. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1972.
• R. J. Zimmer: Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, Vol. 81. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser, 1984.
• D. Witte Morris: Introduction to arithmetic groups. Deductive Press, 2015. ISBN 978-0-9865716-0-2/pbk 978-0-9865716-1-9/hbd