Mengenoperationen

Um Mengenoperationen auf den Relationen ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ durchführen zu können, müssen beide miteinander kompatibel sein. Die Typkompatibilität zweier Relationen ist gegeben, wenn

• ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ den gleichen Grad (Attributelementanzahl) haben
• der Wertebereich der Attribute von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ identisch ist

Die Typkompatibilität wird auch Vereinigungsverträglichkeit genannt.

Vereinigung

Bei der Vereinigung ${\displaystyle R\cup S}$ werden alle Tupel der Relation ${\displaystyle R}$ mit allen Tupeln der Relation ${\displaystyle S}$ zu einer einzigen Relation vereint. Voraussetzung dafür ist, dass ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ das gleiche Relationenschema haben. Das heißt, sie haben gleiche Attribute und Attributtypen. Duplikate werden bei der Vereinigung gelöscht.

Definition

${\displaystyle R\cup S:=\lbrace t\mid t\in R\lor t\in S\rbrace }$

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C 1 2 3 4 5 6

${\displaystyle S}$: A B C 7 8 9 4 5 6

${\displaystyle R\cup S}$: A B C 7 8 9 4 5 6 1 2 3

Voraussetzung

• Vereinigungsverträglichkeit von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$

Schnittmenge (Intersection)

Das Ergebnis der Durchschnittsoperation ${\displaystyle R\cap S}$ sind all die Tupel, die sich sowohl in ${\displaystyle R}$ als auch in ${\displaystyle S}$ finden lassen. Der Mengendurchschnitt lässt sich auch durch die Mengendifferenz ausdrücken: ${\displaystyle R\cap S=R\setminus (R\setminus S)}$

Definition

${\displaystyle R\cap S:=\lbrace t\mid t\in R\land t\in S\rbrace }$

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C 1 2 3 4 5 6

${\displaystyle S}$: A B C 7 8 9 4 5 6

${\displaystyle R\cap S}$: A B C 4 5 6

Voraussetzung

• Vereinigungsverträglichkeit von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$

Differenz

Statt der in der Mengenlehre üblichen Schreibweise für die Differenz zweier Mengen, ${\displaystyle M\setminus N}$, wird in der relationalen Algebra häufig ${\displaystyle M-N}$ geschrieben. Es handelt sich hierbei jedoch ausdrücklich nicht um die übliche Subtraktion. Bei der Operation ${\displaystyle R-S}$ werden aus der Relation ${\displaystyle R}$ alle Tupel entfernt, die auch in der Relation ${\displaystyle S}$ vorhanden sind. Die Differenz (ebenso wie die symmetrische Differenz) ist keine monotone Operation, daher ist auch die relationale Algebra im Vergleich zu anderen deklarativen Anfragesprachen (z. B. Datalog) nicht monoton.

Definition

${\displaystyle R-S:=R\setminus S:=\lbrace t\mid t\in R\land t\notin S\rbrace }$

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C 1 2 3 4 5 6

${\displaystyle S}$: A B C 7 8 9 4 5 6

${\displaystyle R\setminus S}$: A B C 1 2 3

Voraussetzung

• Vereinigungsverträglichkeit von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$

Symmetrische Differenz

Bei der symmetrischen Differenz ${\displaystyle R\bigtriangleup S}$ handelt es sich um die Menge aller Tupel, die entweder in ${\displaystyle R}$ oder in ${\displaystyle S}$, aber nicht in beiden gleichzeitig enthalten sind.

${\displaystyle R\bigtriangleup S:=\lbrace t\mid (t\in R\lor t\in S)\land t\notin R\cap S\rbrace }$

Die Operation kann aus den Grundoperationen abgeleitet werden:

${\displaystyle R\bigtriangleup S:=(R\setminus S)\cup (S\setminus R)=(R\cup S)\setminus (S\cap R)}$

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C 1 2 3 4 5 6

${\displaystyle S}$: A B C 7 8 9 4 5 6

${\displaystyle R\bigtriangleup S}$: A B C 1 2 3 7 8 9

Voraussetzung

• Vereinigungsverträglichkeit von R und S

Kartesisches Produkt (Kreuzprodukt)

Das kartesische Produkt ${\displaystyle R\times S}$ ist eine Operation, welche dem kartesischen Produkt aus der Mengenlehre ähnelt.

Das Resultat des kartesischen Produkts ist die Menge aller Kombinationen der Tupel aus ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$, d. h., jede Zeile der einen Tabelle wird mit jeder Zeile der anderen Tabelle kombiniert. Wenn alle Merkmale (Spalten) verschieden sind, so umfasst die Resultatstabelle die Summe der Merkmale der Ausgangstabellen. Gleichnamige Merkmale der zwei Tabellen werden durch Voranstellen des Tabellennamens referenziert. Die Anzahl der Tupel (Zeilen) in der Resultatstabelle ist das Ergebnis der Multiplikation der Zeilenanzahlen der Ausgangstabellen.

Definition

Zwei beliebige Relationen ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ sind gegeben. Das kartesische Produkt ist definiert durch

${\displaystyle R\times S:=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m})\mid (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in R\land (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m})\in S\}}$

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C D 1 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 0

${\displaystyle S}$: E F G 1 2 3 7 8 9

${\displaystyle R\times S}$: A B C D E F G 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 7 8 9 0 1 2 3 1 2 3 4 7 8 9 4 5 6 7 7 8 9 7 8 9 0 7 8 9

Projektion

Die Projektion entspricht der Projektionsabbildung aus der Mengenlehre und kann auch Attributbeschränkung genannt werden. Sie extrahiert einzelne Attribute aus der ursprünglichen Attributmenge und ist somit als eine Art Selektion auf Spaltenebene zu verstehen, das heißt, die Projektion blendet Spalten aus. Wenn ${\displaystyle \beta }$ die Attributliste ist, schreibt man ${\displaystyle \pi _{\beta }(R)}$ oder in der linearen Schreibweise ${\displaystyle R[\beta ]}$. ${\displaystyle \beta }$ heißt auch Projektionsliste. Duplikate in der Ergebnisrelation werden eliminiert.

Definition

Sei ${\displaystyle R}$ eine Relation über ${\displaystyle \lbrace A_{1},\ldots ,A_{k}\rbrace }$ und ${\displaystyle \beta \subseteq \lbrace A_{1},\ldots ,A_{k}\rbrace }$.

${\displaystyle \pi _{\beta }(R):=\lbrace t_{\beta }\mid t\in R\rbrace }$

Die ${\displaystyle t_{\beta }:=(\beta )}$, das heißt, die Tupel erhalten nur die Attribute aus der Attributliste ${\displaystyle \beta }$.

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C 1 2 3 4 5 6 1 3 8

${\displaystyle R[A,B]:}$ A B 1 2 4 5 1 3

${\displaystyle R[A]:}$ A 1 4

Voraussetzung

• Die angegebenen Spalten müssen in ${\displaystyle R}$ enthalten sein.

Selektion

Bei der Selektion kann man mit einem Vergleichsausdruck (Prädikat) festlegen, welche Tupel in die Ergebnismenge aufgenommen werden sollen. Es werden also Tupel („Zeilen“) ausgeblendet. Man schreibt ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {Ausdruck} }(R)}$ oder in der linearen Schreibweise ${\displaystyle R[\mathrm {Ausdruck} ]}$. Ausdruck heißt dann Selektionsbedingung.

Definition

Sei ${\displaystyle R}$ eine Relation.

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {Ausdruck} }(R):=\{t\mid t\in R\land t\;{\text{erfüllt Ausdruck}}\}}$

Ausdruck bezeichnet dabei eine Formel. Diese kann bestehen aus:

• Konstantenselektionen Attribut ${\displaystyle \theta }$ Konstante, wobei ${\displaystyle \theta }$ ein üblicher (passender) Vergleichsoperator ist.
• Attributselektionen Attribut ${\displaystyle \theta }$ Attribut
• Eine Verknüpfung einer Formel mit logischen Prädikaten ${\displaystyle \land ,\lor ,\neg }$ (Klammerung wie üblich).

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C 1 2 4 4 6 7 1 6 7 8 6 1

${\displaystyle R[A=1]}$: A B C 1 2 4 1 6 7

${\displaystyle R[C>6]}$: A B C 4 6 7 1 6 7

Voraussetzung

• Jedes Element der angegebenen Spalte muss über den Bedingungsoperator mit dem Vergleichswert vergleichbar sein.

Join

Ein Join (zu deutsch Verbund) bezeichnet die beiden hintereinander ausgeführten Operationen kartesisches Produkt und Selektion. Die Selektionsbedingung ist dabei üblicherweise ein Vergleich von Attributen ${\displaystyle A\theta B}$, wobei ${\displaystyle \theta }$ ein passender Vergleichsoperator ist. Man bezeichnet den allgemeinen Verbund daher auch als ${\displaystyle \theta }$-Verbund (Theta-Verbund). Ein Spezialfall des allgemeinen Verbundes ist der Equi-Join (siehe unten).

Definition

Für zwei Relationen ${\displaystyle R(A_{1},\ldots ,A_{n})}$ und ${\displaystyle S(B_{1},\ldots ,B_{m})}$ ist das Ergebnis des allgemeinen Verbundes mit einer Formel Ausdruck als Selektionsbedingung

${\displaystyle R{\underset {\mathrm {Ausdruck} }{\bowtie }}S:=\lbrace r\cup s\mid r\in R\land s\in S\land \mathrm {Ausdruck} \rbrace }$

Die Ableitung ist:

${\displaystyle R{\underset {\mathrm {Ausdruck} }{\bowtie }}S:=\sigma _{\mathrm {Ausdruck} }(R\times S)}$

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C D 1 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 0

${\displaystyle S}$: E F G 1 2 3 7 8 9

${\displaystyle R\times S}$: A B C D E F G 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 7 8 9 0 1 2 3 1 2 3 4 7 8 9 4 5 6 7 7 8 9 7 8 9 0 7 8 9

${\displaystyle R{\underset {R{.}A\neq S{.}E}{\bowtie }}S;{\textsf {JOIN}}(R,R{.}A\bowtie S{.}E,S):}$ A B C D E F G 4 5 6 7 1 2 3 7 8 9 0 1 2 3 1 2 3 4 7 8 9 4 5 6 7 7 8 9

Joinverfälschung

Bei der Joinverfälschung wird als erstes die Tabelle gesplittet, bis auf eine Spalte ${\displaystyle A_{j}}$. Die 2 Tabellen werden dann gejoint über die gemeinsame Spalte ${\displaystyle A_{j}}$.

Sei ${\displaystyle L_{1}\cup L_{2}=\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}}$ und ${\displaystyle L_{1}\cap L_{2}=A_{j}}$, dann gilt:

${\displaystyle R\subseteq \Pi _{L_{1}}(R)\bowtie _{A_{j}}\Pi _{L_{2}}(R)}$

Beispiel

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=\lbrace A,B\rbrace \\L_{2}&=\lbrace B,C\rbrace \\L_{1}\cap L_{2}&=B\end{aligned}}}$

${\displaystyle R}$: A B C 1 2 3 2 1 2 2 2 1

${\displaystyle R\subseteq \Pi _{L_{1}}(R)\bowtie _{B}\Pi _{L_{2}}(R):}$ A B C 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 2 3 2 2 1

Equi-Join

Beim Equi-Join (auch Gleichverbund) wird als erstes das kartesische Produkt gebildet. Dann erfolgt die Selektion mit der Bedingung, dass der Inhalt bestimmter Spalten identisch sein muss. Der Equi-Join ist ein allgemeiner Verbund mit einer Formel der Form ${\displaystyle A=B}$.

Definition

Für die Relationen ${\displaystyle R,S}$ und dazugehörige Attribute ${\displaystyle A}$ (ist Attribut von ${\displaystyle R}$) und ${\displaystyle B}$ (ist Attribut von ${\displaystyle S}$) ist der Equi-Join

${\displaystyle R\bowtie _{A=B}S:=\lbrace (r,s)\mid r\in R\land s\in S\land r_{[A]}=s_{[B]}\rbrace }$

Beispiel

Hier:

${\displaystyle R\bowtie _{A=E}S:=\lbrace r\cup s\mid r\in R\land s\in S\land r_{[A]}=s_{[E]}\rbrace }$

${\displaystyle R}$: A B C D 1 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 0

${\displaystyle S}$: E F G 1 2 3 7 8 9

${\displaystyle R\times S}$: A B C D E F G 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 7 8 9 0 1 2 3 1 2 3 4 7 8 9 4 5 6 7 7 8 9 7 8 9 0 7 8 9

${\displaystyle {\mathsf {JOIN}}(R,R{.}A=S{.}E,S)}$: A B C D E F G 1 2 3 4 1 2 3 7 8 9 0 7 8 9

Natural Join

Der Natural Join setzt sich zusammen aus dem Equi-Join und einer zusätzlichen Ausblendung der duplizierten Spalten (Projektion). Der Join erfolgt über die Attribute (Spalten), die in beiden Relationen die gleiche Bezeichnung haben. Gibt es keine gemeinsamen Attribute, so ist das Ergebnis des natürlichen Verbundes das kartesische Produkt. Der natürliche Verbund ist kommutativ und assoziativ, das heißt, es gilt ${\displaystyle R\bowtie S=S\bowtie R}$ sowie ${\displaystyle (R\bowtie S)\bowtie T=R\bowtie (S\bowtie T)}$, was eine Rolle bei der Optimierung von Anfragen spielt. Die Anzahl der Attribute der Ergebnisrelation ist die Summe der Anzahlen der beiden Ausgangsrelationen abzüglich der Anzahl der Verbundattribute.

Definition

Für zwei Relationen ${\displaystyle R(A_{1},\ldots ,A_{k},B_{1},\ldots ,B_{n})}$ und ${\displaystyle S(B_{1},\ldots ,B_{n},C_{1},\ldots ,C_{l})}$ ist das Ergebnis des natürlichen Verbundes

${\displaystyle R\bowtie S:=\left\lbrace r\cup s_{[C_{1},\ldots ,C_{l}]}\mid r\in R\land s\in S\land r_{[B_{1},\ldots ,B_{n}]}=s_{[B_{1},\ldots ,B_{n}]}\right\rbrace }$

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C D 1 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 0

${\displaystyle S}$: A F G 1 2 3 7 8 9

${\displaystyle {\mathsf {NATURAL\;JOIN}}(R,S):}$ A B C D F G 1 2 3 4 2 3 7 8 9 0 8 9

Semi Join

Der Semi Join berechnet den Anteil eines Natural Joins, welcher nach einer Reduktion auf die linke Relation übrig bleibt.

Definition

Für zwei Relationen ${\displaystyle R(A_{1},\ldots ,A_{k},B_{1},\ldots ,B_{n})}$ und ${\displaystyle S(B_{1},\ldots ,B_{n},C_{1},\ldots ,C_{l})}$ ist das Ergebnis des halben natürlichen Verbundes

${\displaystyle R\ltimes S:=\left\lbrace r\mid r\in R\land s\in S\land r_{[B_{1},\ldots ,B_{n}]}=s_{[B_{1},\ldots ,B_{n}]}\right\rbrace }$

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C D 1 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 0

${\displaystyle S}$: A F G 1 2 3 7 8 9

${\displaystyle {\mathsf {SEMIJOIN}}(R,R{.}A=S{.}A,S):}$ A B C D 1 2 3 4 7 8 9 0

Outer Join

Im Gegensatz zum Equi-Join werden beim Outer-Join auch die Tupel der linken (left outer join) bzw. der rechten (right outer join) Tabelle in die Ergebnisrelation mit aufgenommen, die keinen Join-Partner finden. Die nicht vorhandenen Attribute der Join-Relation werden mit Nullwerten aufgefüllt.

Die Kombination aus Left- und Right-Outer-Join wird Outer-Join oder Full-Outer-Join genannt. Dabei werden alle Tupel in die Ergebnisrelation aufgenommen und jene Attribute eines Tupels mit Nullwerten aufgefüllt, die keinen Join-Partner in der jeweils anderen Relation gefunden haben.

Der Outer-Join kann mit oder ohne (natural outer join) Join-Bedingung verwendet werden.

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C D 1 2 3 4 4 5 6 7 7 8 9 0

${\displaystyle S}$: A F G 1 2 3 7 8 9

${\displaystyle {\mathsf {LEFT\;OUTER\;JOIN}}(R,R{.}A=S{.}A,S):}$ A B C D F G 1 2 3 4 2 3 4 5 6 7 NULL NULL 7 8 9 0 8 9

Umbenennung

Durch diese Operation können Attribute und Relationen umbenannt werden. Diese Operation ist wichtig, um

• Joins von unterschiedlichen benannten Relationen zu ermöglichen,
• kartesische Produkte zu ermöglichen, wo es gleiche Attributnamen gibt, insbesondere auch mit der gleichen Relation
• Mengenoperationen zwischen Relationen mit unterschiedlichen Attributen zu ermöglichen.

Die Schreibweise ist ${\displaystyle \rho _{[\mathrm {neu} \leftarrow \mathrm {alt} ]}(R)}$, linear ${\displaystyle R[\mathrm {alt} \rightarrow \mathrm {neu} ]}$.

Definition

Wir konstruieren eine neue Tupelmenge ${\displaystyle t'}$ aus der alten:

${\displaystyle \rho _{[\mathrm {neu} \leftarrow \mathrm {alt} ]}(R):=\lbrace t'\mid t'(R-\mathrm {alt} )=t(R-\mathrm {alt} )\land t'(\mathrm {neu} )=t(\mathrm {alt} )\rbrace }$

Beispiel

${\displaystyle R}$: A B C 1 2 3 4 5 6

${\displaystyle R[B\rightarrow X]:}$ A X C 1 2 3 4 5 6

Division

Definition

Da die Division eine abgeleitete Operation ist, definieren wir sie mit Hilfe der anderen Operationen der Relationenalgebra. Seien ${\displaystyle R,S}$ Relationen und ${\displaystyle \beta }$ die zu ${\displaystyle R}$ sowie ${\displaystyle \gamma }$ die zu ${\displaystyle S}$ dazugehörigen Attributmengen mit ${\displaystyle \gamma \subsetneq \beta }$. ${\displaystyle R':=\beta \setminus \gamma }$.

Die Division ist dann definiert durch:

${\displaystyle R\div S:=\pi _{R'}(R)-\pi _{R'}((\pi _{R'}(R)\times S)-R)}$

Anschaulich gesprochen enthält ${\displaystyle R\div S}$ also diejenigen Attribute aus ${\displaystyle R'}$, welche in jeder Kombination mit den Attributen aus ${\displaystyle S}$ in ${\displaystyle R}$ vorkommen.

Beispiel

Gegeben ist eine Relation ${\displaystyle R}$, die Väter und Mütter, deren Kinder und das Alter dieser Kinder enthält. Zusätzlich dazu ist eine Relation ${\displaystyle S}$ gegeben, die einige Kinder und deren Alter enthält: Maria (4) und Sabine (2). Dividiert man ${\displaystyle R}$ durch ${\displaystyle S}$, so erhält man als Ergebnis eine Relation, die nur noch diejenigen Ehepaare enthält, die sowohl eine Tochter Maria mit Alter 4 als auch eine Tochter Sabine mit Alter 2 haben:

${\displaystyle R}$: Vater Mutter Kind Alter Franz Helga Harald 5 Franz Helga Maria 4 Franz Ursula Sabine 2 Moritz Melanie Gertrud 7 Moritz Melanie Maria 4 Moritz Melanie Sabine 2 Peter Christina Robert 9

${\displaystyle S}$: Kind Alter Maria 4 Sabine 2

${\displaystyle R\div S}$: Vater Mutter Moritz Melanie

Die Division wird dann eingesetzt, wenn die Frage „für alle“ enthält. Für unser Beispiel lautet die Frage also: „Wähle alle Eltern aus (Vater, Mutter), die ein Kind mit dem Namen Maria und dem Alter 4 und ein Kind mit dem Namen Sabine und dem Alter 2 (die Relation ${\displaystyle S}$) haben.“

Nullwerte

SQL ermöglicht die Verwendung von NULL-Werten, die mit dem speziellen Prädikat IS NULL abgefragt werden können. Dies ist insbesondere wichtig bei der Bildung von äußeren Verbunden, die eine Relation erzeugen, die alle Werte der einen Relation enthalten, sowie alle Werte der anderen, für die die Verbundbedingung wahr ist, sonst eben NULL-Werte. Dies kann mit der relationalen Algebra so nicht abgebildet werden.

Eine Möglichkeit ist die Definition von Nullwerten wie in SQL mit einer dreiwertigen Logik, das heißt, die booleschen Operatoren werden mittels Wahrheitstabellen so erweitert, dass festgelegt ist, wie zu verfahren ist, wenn ein Operand NULL ist.

Selektionsbedingungen oder Verbunde, die auf Nullwerte angewendet werden, ergeben NULL. Eine Schwierigkeit damit (d. h. mit der SQL-artigen Behandlung von Nullwerten) besteht darin, dass die Ergebnisse von Abfragen mit Unterabfragen, die NULL ergeben, nicht notwendigerweise der Intention des Benutzers entsprechen. Diese Art der Nullwertbehandlung ist auch nicht orthogonal, d. h. das Verhalten auf der einen Ebene (boolesche Operatoren, 3-wertige Logik) entspricht nicht dem auf einer anderen (Verbunde, 3-wertige Logik wird auf 2-wertige abgebildet).

Eine andere Möglichkeit ist die Unterscheidung zweier verschiedener Arten von Nullwerten, die jeweils „beliebig“ oder „nicht definiert“ bedeuten.

Gruppierungsoperator und Aggregatfunktionen

Die Gruppierung wendet Funktionen auf gleiche Attribute in einer Relation an. Der Operator γ erhält eine Liste von Funktionen und eine Attributliste. Die Funktionen werden dann auf Tupel angewendet für die die Attribute der Attributliste gleich sind. Die Ausgabe ist eine neue Relation bestehend aus der Attributliste und einem neuen Attribut, das die Ergebnisse der Funktionsliste enthält.

Die Funktionen sind dann die üblichen Aggregatfunktionen count, sum, max, avg ….

Definition

Seien R eine Relation und A = {A₁, …, A_n} Attribute aus R. F(X) sei eine Funktionsliste f₁(x₁), …, f_n(x_n). Die Gruppierung ist dann

${\displaystyle \gamma _{F(X);A}(R):=\bigcup _{t\in R}\gamma _{F(X);\emptyset }(\sigma _{A=t.A}(R))}$

Für eine leere Attributmenge (also γ_F(X);{}(…)) wird ein zusätzliches Attribut erzeugt, das den Wert der Funktionsanwendung über die gesamte Relation enthält. Dies wird ausgenutzt, um die Relation mit der Selektion in Teilrelationen mit gleichen Attributen zu zerlegen, die dann mit der Funktionsanwendung wieder zusammengesetzt werden.

Weiter gilt, dass eine Gruppierung mit einer leeren Funktionsliste keinen Effekt hat.

Multimengensemantik

SQL liefert als Ergebnis von Anfragen eine Multimenge zurück, also eine Menge, die Elemente mehrfach enthalten kann. Dies wurde aus Performance-Gründen so gehandhabt, um den zusätzlichen Schritt der Duplikatentfernung zu sparen. Es können also streng genommen nur Anfragen in die relationale Algebra übersetzt werden, die mit DISTINCT angegeben sind.

Für die relationale Algebra kann man dann zusätzlich eine Funktion bag-to-set spezifizieren, die die Duplikate aus einer Multimenge entfernt und somit eine Menge erzeugt, und die Basisoperationen dann einfach als Multimenge ${\displaystyle \{\{t\mid \ldots \}\}}$ spezifizieren. Vorsicht muss man aber bei der Definition abgeleiteter Operationen walten lassen.

NF²

Eine Erweiterung des relationalen Datenbankmodells ist das NF²-Modell. Der Name steht für Non-first-normal-form (NFNF), was andeuten soll, dass die Bedingung atomarer Attributwerte der 1. Normalform aufgebrochen wird. Folglich werden Mengen von Attributen und Mengen von Mengen erlaubt, was dazu führt, dass ein Attribut einer Relation wieder eine Relation sein kann. Die Domäne (Wertebereich) eines kombinierten Attributs ist das Kreuzprodukt der beteiligten Attributdomänen.

NF² erweitert die relationale Algebra dahingehend, dass neben den üblichen (entsprechend angepassten) Operationen der relationalen Algebra zwei Operationen hinzugenommen werden, die eine Relation schachteln (Nestung ν) und entschachteln (Entnestung μ). Die Nestung fasst eine Menge von Attributen in eine Unterrelation zusammen, die einen neuen Attributnamen erhält. Die Entnestung hebt Schachtelungen auf. Diese Operationen dienen dazu NF² Relationen in die 1. Normalform zu transformieren und umgekehrt. Die Operationen sind im Allgemeinen nicht bijektiv.

NF² benötigt aus obigen Gründen keine Fremdschlüssel.

eNF²

eNF² steht für „erweiterte NF²-Relationen“ und ist eine (erhebliche) Verallgemeinerung des NF²-Relationenmodells. Es wurde entwickelt, da in vielen technisch-wissenschaftlichen Anwendungen, wie Geoinformationssystemen, CAM, CAD und Robotik, Datenstrukturen auftreten, die selbst mit NF²- Relationen nicht mehr adäquat repräsentiert werden können. Hierzu gehören insbesondere listenartige Datenobjekte, wie z. B. Messreihen und Polygone. Listenstrukturen können dabei auch geschachtelt auftreten, wie z. B. bei Matrizen im zwei- oder mehrdimensionalen Raum. Eine weitere Eigenschaft des eNF²-Relationenmodells der dafür konzipierten SQL-artigen Anfragesprache HDBL (steht für „Heidelberg Database Language“) ist, dass jedes Anfrageergebnis wieder ein legales eNF²-Datenobjekt zurückliefert, das auch in einer eNF²-Datenbank gespeichert oder innerhalb eines geschachtelten HDBL-Ausdrucks auftreten kann.

Im eNF²-Relationenmodell und in HDBL können deshalb alle atomaren und konstruierten Datentypen (Tupel, Menge, Liste) sowohl auf der obersten Ebene als auch als Subtypen auftreten.

Das eNF²-Datenmodell bietet damit im Wesentlichen alle Datenstrukturen, die man auch in gängigen Programmiersprachen, wie z. B. C, C++ und Java, zur Verfügung hat. Es bietet daher auch eine gute Basis für die Ergänzung eines solchen eNF²-DBMS durch die Implementierung benutzerdefinierter Datentypen und Funktionen, die insbesondere für technisch-wissenschaftliche Anwendungen sehr wertvoll sind.