Der Fall n = 1

Nach der d'Alembertschen Lösungsformel gilt für ${\displaystyle u=u(x,t)}$:

${\displaystyle u(x,t)={\tfrac {1}{2}}(\phi (x-t)+\phi (x+t))+{\tfrac {1}{2}}\int _{x-t}^{x+t}\psi (s)\mathrm {d} s}$

Stören wir das Anfangsdatum ${\displaystyle \phi }$ im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$, dann erkennt man anhand der obigen Formel, dass für den Punkt ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ die Störung zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=T>\max(x_{0}-a,b-x_{0})}$ keinen Einfluss mehr hat, denn die Anfangsdaten ${\displaystyle \phi (x-T)}$ und ${\displaystyle \phi (x+T)}$ wurden nicht gestört. Für ${\displaystyle \phi }$ gilt das huygenssches Prinzip.

Sei ${\displaystyle \psi \neq 0}$ und man störe das Anfangsdatum ${\displaystyle \psi }$ in ${\displaystyle [a,b]}$. Dann wird man feststellen, dass für jeden Zeitpunkt T die Störung noch Auswirkungen auf die Lösungen ${\displaystyle u(x,T)}$ hat, denn man integriert über das "Störintervall":

${\displaystyle u(x,T)={\tfrac {1}{2}}\int _{x-T}^{x+T}\psi (s)\mathrm {d} s={\tfrac {1}{2}}\int _{a}^{b}\psi (s)\mathrm {d} s}$

Fazit: Im Eindimensionalen gilt das huygenssches Prinzip im Allgemeinen nicht, sondern es gilt nur für das Anfangsdatum ${\displaystyle \phi }$.

Der Fall n = 2

Die allgemeine Lösungsformel für den zweidimensionalen Fall (nach der Abstiegsmethode) lautet:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=u(x_{1},x_{2},t)\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{B(x,t)}{\frac {\psi (y)}{\sqrt {t^{2}-|y-x|^{2}}}}\mathrm {d} y\\&\quad +{\frac {1}{2\pi }}\partial _{t}{\Bigl (}\int _{B(x,t)}{\frac {\phi (y)}{\sqrt {t^{2}-|x-y|^{2}}}}\mathrm {d} y{\Bigr )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle B(x,t)}$ bezeichnet die (ausgefüllte) Kreisscheibe mit Mittelpunkt ${\displaystyle x}$ und Radius ${\displaystyle t}$.

Anhand dieser Formel sieht man sofort, dass das huygenssches Prinzip nicht gilt. Denn stört man die Anfangsdaten ${\displaystyle \phi }$ oder ${\displaystyle \psi }$ in einem Rechteck ${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$ dann wirkt sich die Störung auch noch zu jeden Zeitpunkt ${\displaystyle t=T}$ für alle Punkte ${\displaystyle x_{0}\in R}$ aus, denn die Kreisscheibe ${\displaystyle B(x,t)}$ beinhaltet für diese Punkte ${\displaystyle x_{0}}$ das Rechteck R. Also wird wieder über gestörten Daten integriert.

Der Fall n = 3

Nach der Kirchhoffschen Formel lautet die Lösung für die Wellengleichung:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=u(x_{1},x_{2},x_{3},t)\\&={\frac {1}{4\pi t}}\int _{S(x,t)}\psi (y)\mathrm {d} \sigma _{t}(y)\\&\quad +\partial _{t}{\Bigl (}{\frac {1}{4\pi t}}\int _{S(x,t)}\phi (y)\mathrm {d} \sigma _{t}(y){\Bigr )}\end{aligned}}}$

${\displaystyle S(x,t)}$ bezeichnet die Kugeloberfläche der Kugel mit Zentrum ${\displaystyle x}$ und Radius ${\displaystyle t}$. ${\displaystyle d\sigma _{t}(y)}$ bezeichnet das Oberflächenelement der Kugel.

Mithilfe dieser Formel erkennt man sofort, dass im 3D-Fall das huygenssche Prinzip gilt. Werden die Anfangsdaten ${\displaystyle \phi }$ oder ${\displaystyle \psi }$ auf einem Quader ${\displaystyle Q=[a,b]\times [c,d]\times [e,f]}$ gestört, dann wirkt sich diese Störung nicht auf die Lösung für die Punkte x⁰∈Q für große ${\displaystyle t\geq T}$ aus. Man muss nur ${\displaystyle t}$ so groß wählen, dass die Kugeloberfläche den Quader komplett umschließt und somit nicht mehr über die gestörten Daten Q integriert wird. Offensichtlich muss

${\displaystyle T>\max {\bigl (}\max(x_{1}^{0}-a,b-x_{1}^{0}),\,\max(x_{2}^{0}-c,d-x_{2}^{0}),\,\max(x_{3}^{0}-e,f-x_{3}^{0}){\bigr )}}$

gelten.