Äußere Entropiezahlen

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Banachräume und ${\displaystyle T}$ ein linearer stetiger Operator ${\displaystyle T\in L(X,Y)}$, so nennt man

${\displaystyle \varepsilon _{n}(T):=\inf \left\{\varepsilon >0|\exists x_{1},\dots ,x_{n}\in Y{\text{mit }}T(B_{X})\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}{{x_{i}}+\varepsilon B_{Y}}\right\}}$

n-te Entropiezahl von T, wobei ${\displaystyle B_{X}}$ bzw. ${\displaystyle B_{Y}}$ die abgeschlossenen Einheitskugeln in X bzw. Y sind. Wir nennen

${\displaystyle e_{n}:=\varepsilon _{2^{n}-1}(T)}$

die n-te dyadische Entropiezahl von T.

Beim Übergang von den „normalen“ Entropiezahlen zu den dyadischen gehen bei der asymptotischen Betrachtung keine wesentlichen Informationen verloren. Darum werden die dyadischen Entropiezahlen oft nur Entropiezahlen genannt.

Innere Entropiezahlen

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Banachräume und ${\displaystyle T}$ ein linearer stetiger Operator ${\displaystyle T\in L(X,Y)}$, so nennt man

${\displaystyle \varphi _{n}(T):=\sup \left\{\rho >0:\exists \,p>n{\text{ mit }}y_{1},\dots ,y_{p}\in T(B_{X}),\,\left\|y_{i}-y_{j}\right\|\geq 2\rho \,\forall i\neq j\right\}}$

innere Entropiezahl von T.

${\displaystyle f_{n}(T):=\varphi _{2^{n}-1}(T)}$

wird dyadische innere Entropiezahl von T genannt.

Zusammenhang von inneren zu äußeren Entropiezahlen

Wie Carl und Stephani in ihrem Buch Entropy, compactness and the approximation of operators gezeigt haben, besteht die Beziehung

${\displaystyle \varphi _{n}(T)\leq \varepsilon _{n}(T)\leq 2\varphi _{n}(T)}$

weshalb man meist nur ${\displaystyle e_{n}(T)}$ betrachtet.