Beweis

Zum Beweis der Epsilon-Induktion für ${\displaystyle A}$ betrachtet man eine transitive Menge.

Für eine gegebene Menge ${\displaystyle x}$ existiert in ZF die transitive Hülle ${\displaystyle TC(x)}$, welche auch ${\displaystyle x}$ als Teilmenge enthält. Man betrachtet damit weiters die Menge

${\displaystyle M:=\{y\in TC(x)\cup \{x\}\mid \neg A(y)\}}$

Der Beweis geht von der erfüllten Induktions-Voraussetzung für ${\displaystyle A}$ aus und demonstriert die Induktions-Behauptung durch herbeiführen eines Widerspruchs im Falles deren Negation: Wäre die Epsilon-Induktion falsch, dann gäbe es eine Menge ${\displaystyle x}$ für die ${\displaystyle \neg A(x)}$ gilt. Damit gilt auch ${\displaystyle x\in M}$, sodass ${\displaystyle M}$ nicht leer ist. Somit liefert die Regularität von ${\displaystyle M}$ ein epsilon-minimales Element ${\displaystyle m\in M}$, also ein Element mit ${\displaystyle \neg A(m)}$ welches einen leeren Schnitt mit ${\displaystyle M}$ hat. Jedes Element von ${\displaystyle m}$ ist aufgrund der Transitivität von ${\displaystyle TC(x)}$ wieder in ${\displaystyle TC(x)}$, kann aber wegen der Epsilon-Minimalität von ${\displaystyle m}$ nicht auch in ${\displaystyle M}$ sein. Da ${\displaystyle M}$ durch die Negation des Prädikats ${\displaystyle A}$ charakterisiert ist gilt für alle ${\displaystyle z\in m}$ die Aussage ${\displaystyle A(z)}$. Die Implikation in der Voraussetzung des Induktions-Schemas liefert damit aber wiederum ${\displaystyle A(m)}$, im Widerspruch zum etablierten ${\displaystyle \neg A(m)}$.