Affiner Fall

Für jedes ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ soll

${\displaystyle \left[-\infty ,a\right[:=\{x\in \mathbb {R} \mid x<a\}\cup \{-\infty \}}$

eine offene Umgebung von ${\displaystyle -\infty }$ und

${\displaystyle \left]a,+\infty \right]:=\{x\in \mathbb {R} \mid x>a\}\cup \{+\infty \}}$

eine offene Umgebung von ${\displaystyle +\infty }$ sein. Hierdurch wird beispielsweise die durch ${\displaystyle x_{n}=n}$ gegebene Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ zu einer gegen ${\displaystyle +\infty }$ konvergenten Folge: Für jedes ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ sind fast alle Folgenglieder in ${\displaystyle ]a,+\infty ]}$ enthalten, nämlich all jene mit ${\displaystyle n>a}$.

Die Abbildung ${\displaystyle f\colon {\overline {\mathbb {R} }}\to [-1,1]}$, die durch

${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+|x|}}}$ für ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(-\infty )=-1}$, ${\displaystyle f(+\infty )=+1}$

gegeben ist, ist ein Homöomorphismus. Topologisch ist ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ also gleichwertig mit einem abgeschlossenen Intervall, das mit ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ bezeichnet wird.

Die affin erweiterten reellen Zahlen bilden eine streng total geordnete Menge, indem die Ordnung der reellen Zahlen durch ${\displaystyle -\infty <a}$, ${\displaystyle a<+\infty }$ für alle ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ sowie ${\displaystyle -\infty <+\infty }$ fortgesetzt wird. Die üblichen Schreibweisen ${\displaystyle ]a,b[}$ für offene, ${\displaystyle [a,b[}$ und ${\displaystyle ]a,b]}$ für halb-offene und ${\displaystyle [a,b]}$ für geschlossene Intervalle sind somit auch sinnvoll, wenn ${\displaystyle a=-\infty }$ und/oder ${\displaystyle b=+\infty }$ ist. Die Topologie von ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ist zugleich die von dieser Ordnung definierte Ordnungstopologie.

Die Homöomorphie mit ${\displaystyle [-1,1]}$ zeigt, dass ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ metrisierbar ist. Allerdings lässt sich die Standardmetrik auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nicht zu einer Metrik auf ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ fortsetzen: dazu müsste ${\displaystyle \{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\mid d(-\infty ,x)<1\}}$ offen sein, also eine „Kreisfläche“ ${\displaystyle [-\infty ,a[}$ mit Mittelpunkt ${\displaystyle -\infty }$ und Radius <1 enthalten, woraus aber

${\displaystyle 2=d(a-1,a+1)\leq d(a-1,-\infty )+d(-\infty ,a+1)<1+1}$

folgen würde.

Projektiver Fall

Für jede positive reelle Zahl ${\displaystyle r}$ soll das Komplement von ${\displaystyle [-r,r]}$ offene Umgebung von ${\displaystyle \infty }$ sein. Allgemeiner folgt so, wie für die Einpunktkompaktifizierung üblich, dass für jede kompakte Teilmenge ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} }$ das Komplement ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}\setminus K}$ eine offene Umgebung von ${\displaystyle \infty }$ ist. Hierdurch wird beispielsweise auch die durch ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}n}$ gegebene Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ zu einer gegen ${\displaystyle \infty }$ konvergenten Folge: Für jedes ${\displaystyle r>0}$ sind fast alle Folgenglieder im Komplement von ${\displaystyle [-r,r]}$ enthalten, d. h. es gilt ${\displaystyle |x_{n}|>r}$. Allgemein wird aus jeder dem Betrage nach bestimmt divergenten reellen Folge eine in ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ gegen ${\displaystyle \infty }$ konvergente.

Mit dieser Topologie wird ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ homöomorph zur Kreislinie

${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\}.}$

Ein Homöomorphismus ${\displaystyle g\colon S^{1}\to {\widehat {\mathbb {R} }}}$ ist beispielsweise gegeben durch

${\displaystyle g(x,y)={\frac {x}{1-y}}}$ für ${\displaystyle (x,y)\neq (0,1)}$ und ${\displaystyle g(0,1)=\infty }$.

Ebenso wenig wie die Kreisline lässt sich daher ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ in mit der Topologie verträglicher Weise total ordnen. Üblicherweise belässt man es dabei, dass ${\displaystyle \infty }$ mit endlichen Zahlen unvergleichbar ist.

Wie im affinen Fall ist auch die projektive Erweiterung metrisierbar, jedoch nicht durch Fortsetzen der reellen Standardmetrik.

Man kann sich ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ auch als aus ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ durch Zusammenkleben der Punkte ${\displaystyle -\infty }$ und ${\displaystyle +\infty }$ entstanden denken.

Zudem entspricht ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ der reellen projektiven Geraden ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$, dies motiviert auch die Bezeichnung.

Gemeinsame Eigenschaften

Sowohl die affine als auch die projektive Erweiterung bilden einen kompakten Raum, in dem die reellen Zahlen eine dichte Teilmenge sind. Hieraus ergibt sich, dass jede Zahlenfolge dann eine konvergente Teilfolge (und sei es gegen einen uneigentlichen Punkt) enthält. Nur bestimmt bzw. betragsmäßig bestimmt divergente reelle Folgen werden in der affin bzw. projektiven Erweiterung zu konvergenten Folgen. Eine Folge wie die durch ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$ gegebene ist auch in den erweiterten reellen Zahlen divergent. In der Stone-Čech-Kompaktifizierung der reellen Zahlen dagegen konvergieren alle beschränkten Folgen.

Rechenregeln aus Stetigkeit

Die genannten (algebraisch formulierten) Bedingungen sind auf jeden Fall dann erfüllt, wenn die Operationen stetig fortgesetzt werden. Es gibt jedoch beispielsweise keine stetige Abbildung ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}\times {\overline {\mathbb {R} }}\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ bzw. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}\times {\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }}}$, die auf ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ mit der Addition übereinstimmt. Daher ist die stetige Fortsetzung grundsätzlich nur partiell möglich. Durch möglichst weitreichende stetige Fortsetzung ergeben sich folgende Rechenregeln, bei denen für auf diesem Wege nicht zu definierende Ausdrücke der Wert „?“ notiert wird:

Grundrechenarten

in ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$	in ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$
Vergleiche
${\displaystyle -\infty <a<+\infty }$ für endliches ${\displaystyle a}$	${\displaystyle \infty }$ ist mit endlichen ${\displaystyle a}$ nicht vergleichbar
Negation
${\displaystyle -(\pm \infty )=\mp \infty }$	${\displaystyle -\infty =\infty }$
Addition und Subtraktion
${\displaystyle \pm \infty +a=a\pm \infty =\pm \infty }$ für endliches ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \infty +\infty =\infty }$ ${\displaystyle -\infty -\infty =-\infty }$	${\displaystyle \infty +a=a+\infty =\infty }$ für endliches ${\displaystyle a}$
${\displaystyle \infty -\infty =?}$	${\displaystyle \infty \pm \infty =?}$
Multiplikation
${\displaystyle (\pm \infty )\cdot a=a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty }$ für ${\displaystyle 0<a\leq \infty }$ ${\displaystyle (\pm \infty )\cdot a=a\cdot (\pm \infty )=\mp \infty }$ für ${\displaystyle -\infty \leq a<0}$	${\displaystyle \infty \cdot a=a\cdot \infty =\infty }$ für ${\displaystyle a\neq 0}$ (inklusive ${\displaystyle a=\infty }$)
${\displaystyle 0\cdot (\pm \infty )=?}$	${\displaystyle 0\cdot \infty =?}$
Kehrwerte
${\displaystyle (\pm \infty )^{-1}=0}$	${\displaystyle \infty ^{-1}=0}$
${\displaystyle 0^{-1}=?}$	${\displaystyle 0^{-1}=\infty }$
Division
${\displaystyle {\tfrac {a}{\pm \infty }}=0}$ für endliches ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pm \infty }{a}}=\pm \infty }$ für ${\displaystyle 0<a<\infty }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pm \infty }{a}}=\mp \infty }$ für ${\displaystyle -\infty <a<0}$	${\displaystyle {\tfrac {a}{\infty }}=0}$ für endliches ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{a}}=\infty }$ für endliches ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}=\infty }$ für ${\displaystyle 0\neq a\neq \infty }$
${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}=?}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}=?}$ für ${\displaystyle a}$ beliebig	${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}=?}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}=?}$

Potenzen

Im Folgenden wird nur im affinen Fall ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ die stetige Fortsetzung des Potenzierens angegeben. Hierbei ist zu beachten, dass bereits im Endlichen ${\displaystyle a^{b}}$ nur (reell) definiert ist, wenn ${\displaystyle a>0}$ (und ${\displaystyle b}$ beliebig) oder ${\displaystyle a<0}$ und ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$ oder ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle b\geq 0}$.

Ausdruck	Wert	Bedingung
${\displaystyle a^{+\infty }}$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle 1<a\leq +\infty }$
	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1<a<1}$
	?	${\displaystyle a=1}$ oder ${\displaystyle -\infty \leq a\leq -1}$
${\displaystyle a^{-\infty }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1<a\leq +\infty }$ oder ${\displaystyle -\infty \leq a<-1}$
	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle 0\leq a<1}$
	?	${\displaystyle -1\leq a<0}$
${\displaystyle 0^{a}}$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle -\infty \leq a<0}$ und ${\displaystyle a}$ ist keine ungerade ganze Zahl
	?	${\displaystyle a}$ ist eine negative ungerade ganze Zahl
	?	${\displaystyle a=+\infty }$
${\displaystyle (+\infty )^{a}}$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle 0<a\leq +\infty }$
	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -\infty \leq a<0}$
	?	${\displaystyle a=0}$
${\displaystyle (-\infty )^{n}}$	${\displaystyle (-1)^{n}\infty }$	${\displaystyle n>0}$ ganzzahlig
	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle n=0}$
	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle n<0}$ und ganzzahlig

Der Wert von ${\displaystyle a^{b}}$ mit negativem ${\displaystyle a}$ und endlichem nicht-ganzen ${\displaystyle b}$ bleibt undefiniert, da diese Stellen nicht zum Abschluss des Definitionsbereiches der endlichen Potenzfunktion gehören. Zu den stetigen Fortsetzungen mit nichtpositiver Basis ${\displaystyle -\infty \leq a\leq 0}$ ist zu beachten, dass diese Stellen zwar zum Abschluss des Definitionsbereiches gehören, aber keine inneren Punkte des Abschlusses sind. Es gibt daher gänzlich außerhalb des Definitionsbereiches liegende Folgen, die gegen diese Stellen konvergieren.

Undefinierte Ausdrücke

Mit der Methode der stetigen Fortsetzung lässt sich in ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ für die Grundrechnungsarten-Ausdrücke

${\displaystyle \infty -\infty ,\quad 0\cdot \infty ,\quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad {\frac {a}{0}}}$

bzw. in ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ für

${\displaystyle \quad \infty +\infty ,\quad 0\cdot \infty ,\quad {\frac {\infty }{\infty }},\quad {\frac {0}{0}}}$

kein Wert angeben. Prinzipiell wäre es denkbar, eine geeignete – notwendig unstetige – Festsetzung zu finden. Das ist für die genannten Ausdrücke jedoch nicht möglich, ohne das Permanenzprinzip zu verletzen, d. h. ohne Widerspruch zu den üblichen Rechenregeln. Dies zeigt im Einzelnen die folgende Aufstellung:

• ${\displaystyle \infty -\infty }$:

  Wegen ${\displaystyle x-x=0}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ folgt durch das Permanenzprinzip, dass ${\displaystyle \infty -\infty =0}$ gelten sollte, wenn der Ausdruck definiert ist. Dies führt jedoch unter Berücksichtigung der Rechenregel ${\displaystyle \infty +\infty =\infty }$ auf den Widerspruch ${\displaystyle \infty =\infty +0=\infty +(\infty -\infty )=(\infty +\infty )-\infty =\infty -\infty =0}$.

• ${\displaystyle \infty +\infty }$ in ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$:

  Analog, da ${\displaystyle \infty =-\infty }$.

• ${\displaystyle 0\cdot \infty }$:

  Wegen ${\displaystyle 0\cdot x=0}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ soll ${\displaystyle 0\cdot \infty =0}$ gelten. Andererseits gilt ${\displaystyle x^{-1}\cdot x=1}$, soweit die linke Seite definiert ist. Demnach ergibt sich der Widerspruch ${\displaystyle 0=0\cdot \infty =\infty ^{-1}\cdot \infty =1}$

• ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$:

  Wegen ${\displaystyle {\tfrac {x}{x}}=1}$ und ${\displaystyle {\tfrac {2x}{x}}=2}$ ergibt sich ${\displaystyle 1={\tfrac {\infty }{\infty }}={\tfrac {2\infty }{\infty }}=2}$

• ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$:

  Auch hier folgt ${\displaystyle 1={\tfrac {0}{0}}={\tfrac {2\cdot 0}{0}}=2}$.

• ${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$ in ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$:

  Aus ${\displaystyle {\tfrac {x}{y}}=-{\tfrac {x}{-y}}}$ folgt, dass ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}=-{\tfrac {a}{0}}}$ gelten soll, folglich ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}=0}$. Wegen ${\displaystyle {\tfrac {x}{y}}\cdot {\tfrac {y}{x}}=1}$ folgt ${\displaystyle 0=0\cdot 0={\tfrac {a}{0}}\cdot {\tfrac {0}{a}}=1}$.

Den aufgelisteten Ausdrücken einen Wert zuzuweisen, ist also auf „vernünftige“ Weise nicht möglich. Abgesehen von ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ mit ${\displaystyle a\neq 0}$ werden die so in ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ nicht definierten Ausdrücke auch als unbestimmte Ausdrücke bezeichnet, für die es allerdings in bestimmten Einzelfällen gleichwohl möglich ist, mittels der Regel von de L’Hospital gültige Zahlenwerte zu berechnen.

Abweichend von obiger Liste wird in einigen Gebieten der Mathematik, namentlich der Maßtheorie, gewöhnlich ${\displaystyle 0\cdot \infty =0}$ vereinbart, da auf diese Weise zahlreiche Aussagen konziser zu fassen sind. In dem Fall ist darauf zu achten, dass niemals der Kehrwert von unendlich benutzt wird, bzw. es ist auf die Festsetzung ${\displaystyle \infty ^{-1}=0}$ zu verzichten. Andernfalls müssten die Ausnahmen der gewöhnlichen Rechenregeln (nämlich, dass nicht immer ${\displaystyle x\cdot x^{-1}=1}$ gilt) regelmäßig durch Fallunterscheidungen bedacht werden, und dies machte den Vorteil der Abkürzung wieder wett.

Algebraische Fortsetzung des Potenzierens

Anders als bei den vier Grundrechenarten ist es auch unabhängig von Stetigkeitsbetrachtungen möglich, konsistent (aber unstetig)

${\displaystyle 1^{\pm \infty }=(\pm \infty )^{0}=1}$

zu definieren. Dass zumindest kein anderer Wert für diese Ausdrücke definiert werden kann, ergibt sich direkt aus dem Permanenzprinzip, da im Endlichen ${\displaystyle 1^{x}=x^{0}=1}$ gilt. Diese Festsetzungen sind konsistent in dem Sinne, dass die Potenzgesetze ${\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}}$, ${\displaystyle (a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}}$ und ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}}$ gelten, wann immer alle Teilausdrücke definiert sind.

Im Zusammenhang mit Grenzwertuntersuchungen jedoch werden die Ausdrücke ${\displaystyle 1^{\infty }}$, ${\displaystyle \infty ^{0}}$ und sogar ${\displaystyle 0^{0}}$ mit zu den unbestimmten Ausdrücken gezählt, da in dem Zusammenhang Stetigkeit ausschlaggebend ist. In bestimmten Einzelfällen allerdings ist es auch hier möglich, mittels der Regel von de L’Hospital für die o. g. Ausdrücke gültige Zahlenwerte zu berechnen.

Das Lösen von Gleichungen

Beim Lösen von Gleichungen ist Vorsicht geboten, wenn man mit Unendlichkeiten arbeitet, da zusätzliche Lösungen existieren können. Besonders offensichtlich wird dies bei der Gleichung ${\displaystyle a+x=b}$, die für endliche ${\displaystyle a,b}$ stets genau eine Lösung hat. Dagegen hat ${\displaystyle \infty +x=0}$ gar keine und ${\displaystyle \infty +x=\infty }$ unendlich viele. Einige weitere Beispiele, die sich aus den obigen Rechenregeln ergeben, zeigt die folgende Tabelle:

Gleichung	Lösungen in ${\displaystyle \mathbb {R} }$	Zusätzlich in ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$	Zusätzlich in ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$
${\displaystyle x=-x}$	${\displaystyle 0}$		${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle x=2x}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle +\infty ,-\infty }$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle x=x\cdot x}$	${\displaystyle 0,1}$	${\displaystyle +\infty }$	${\displaystyle \infty }$

Beim Umformen von Gleichungen kann nicht mehr allgemein auf die Kürzungseigenschaft der Addition (aus ${\displaystyle a+c=b+c}$ folgt ${\displaystyle a=b}$) zurückgegriffen werden, sondern nur unter der Voraussetzung, dass ${\displaystyle c}$ endlich ist. Die Kürzungseigenschaft der Multiplikation (aus ${\displaystyle a\cdot c=b\cdot c}$ folgt ${\displaystyle a=b}$), die auch im Endlichen nur unter der Voraussetzung ${\displaystyle c\neq 0}$ gilt, ist ebenfalls für unendliches ${\displaystyle c}$ ungültig. Die letzte Gleichung aus obiger Tabelle, ${\displaystyle x=x\cdot x}$, lässt sich nicht äquivalent umformen zu ${\displaystyle 0=x\cdot x-x}$, denn diese hat im Gegensatz zu ersterer keine unendliche Lösung (für ${\displaystyle x=+\infty }$ ist die rechte Seite nicht definiert).