Eulersche Differentialgleichung

Die eulersche Differentialgleichung (nach Leonhard Euler) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten der speziellen Form

\sum _{k=0}^{N}a_{k}\,(cx+d)^{k}\;y^{(k)}(x)=b(x)\ ,\ cx+d>0

zu gegebenen $N\in \mathbb {N} ,\ a_{0},\ldots ,a_{N},c,d\in \mathbb {R} ,\ c\neq 0$ und Inhomogenität $b$ . Kennt man ein Fundamentalsystem der homogenen Lösung, so kann man mit dem Verfahren der Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen. Daher braucht nur $b\equiv 0$ betrachtet zu werden.

Die eulersche Differentialgleichung wird mittels der Transformation $z(t):=y\left({\tfrac {e^{t}-d}{c}}\right)$ in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten überführt.

Motivation der Transformation

Sei $y$ eine genügend glatte Funktion und

z(x):=y\left({\frac {e^{x}-d}{c}}\right)

, also

\ y(x)=z(\ln(cx+d))

.

Dann gilt

{\begin{array}{lll}y'(x)&=&{\frac {c}{cx+d}}z'(\ln(cx+d))\ ,\\y''(x)&=&{\frac {c^{2}}{(cx+d)^{2}}}z''(\ln(cx+d))-{\frac {c^{2}}{(cx+d)^{2}}}z'(\ln(cx+d))\ ,\\\end{array}}

also

{\begin{array}{lll}(cx+d)y'(x)&=&c\cdot z'(\ln(cx+d))\ ,\\(cx+d)^{2}y''(x)&=&c^{2}\cdot [z''-z'](\ln(cx+d))\ .\\\end{array}}

Insofern würde sich die eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten transformieren. Es stellen sich nun folgende Fragen:

Überführt diese Transformation auch die Terme höherer Ordnung $(cx+d)^{k}y^{(k)}(x)$ in welche mit konstanten Koeffizienten?
Wie kann man die Koeffizienten auf der rechten Seite einfacher ausrechnen, ohne jedes Mal die Transformation genügend oft abzuleiten?

Diese Fragen werden durch den folgenden Transformationssatz geklärt:

Der Transformationssatz

Sei $z$ Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

\sum _{k=0}^{n}a_{k}c^{k}\left(\left[\prod _{j=0}^{k-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(x)=0\ .

Dann ist

\ y(x):=z(\ln(cx+d))

eine Lösung der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung

\sum _{k=0}^{N}a_{k}(cx+d)^{k}y^{(k)}(x)=0\ ,\ cx+d>0\ .

Erläuterung zur Notation

Hierbei werden zunächst die Differentialoperatoren miteinander (vergleichbar dem Ausmultiplizieren) verknüpft, bevor sie auf eine Funktion angewandt werden, beispielsweise:

\left[\prod _{j=0}^{-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=z\ ,

\left[\prod _{j=0}^{0}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)z=z'\ ,

\left[\prod _{j=0}^{1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)z=\left({\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}x^{2}}}-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)z=z''-z'\ ,

\left[\prod _{j=0}^{2}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-2\right)z=\left({\frac {\rm {d^{3}}}{{\rm {d}}x^{3}}}-3{\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}x^{2}}}+2{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)z=z'''-3z''+2z'\ .

Beweis

Zu zeigen ist lediglich $c^{k}\left(\left[\prod _{j=0}^{k-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))=(cx+d)^{k}y^{(k)}(x)$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ . Dies geschieht mittels vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang $k=0$ ist trivial. Unter Voraussetzung der Gültigkeit der Identität für $k_{0}\in \mathbb {N} _{0}$ kann diese Identität differenziert werden. Es ergibt sich

(cx+d)^{k_{0}}y^{(k_{0}+1)}(x)+ck_{0}(cx+d)^{k_{0}-1}y^{(k_{0})}(x)={\frac {c^{k_{0}+1}}{cx+d}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\ .

Anwenden der Induktionsvoraussetzung impliziert

{\begin{array}{lll}(cx+d)^{k_{0}+1}y^{(k_{0}+1)}(x)&=&c^{k_{0}+1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))-ck_{0}(cx+d)^{k_{0}}y^{(k_{0})}(x)\\&=&c^{k_{0}+1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\\&&\quad -c^{k_{0}+1}k_{0}\left(\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\\&=&c^{k_{0}+1}\left(\left[\prod _{j=0}^{k_{0}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\ .\\\end{array}}

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Folgerung: Konstruktion eines Fundamentalsystems

Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung von $z$ lautet

\chi (\lambda )=\sum _{k=0}^{n}a_{k}c^{k}\prod _{j=0}^{k-1}(\lambda -j)=0\ .

Bezeichnen nun $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{M}$ die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\chi (\lambda )$ und $R_{j}$ die Vielfachheit von $\lambda _{j}$ , so bildet

\{z_{j,k}(x)=e^{\lambda _{j}x}x^{k}\ |\ j=1,\ldots ,M\ ,\ k=0,\ldots ,R_{j}-1\}

ein Fundamentalsystem der Gleichung für $z$ . Also ist

\{y_{j,k}(x)=(cx+d)^{\lambda _{j}}[\ln(cx+d)]^{k}\ |\ j=1,\ldots ,M\ ,\ k=0,\ldots ,R_{j}-1\}

ein Fundamentalsystem der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung.

Beispiel

Gegeben sei die eulersche Differentialgleichung

a_{2}x^{2}y''(x)+a_{1}xy'(x)+a_{0}y(x)=0\ ,\ a_{2}\neq 0\ ,\ x>0\ .

Zu lösen ist nach obigem Satz zunächst die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

a_{2}(z''(x)-z'(x))+a_{1}z'(x)+a_{0}z(x)=0\ ,

also

a_{2}z''(x)+(a_{1}-a_{2})z'(x)+a_{0}z(x)=0\ .

Das zu dieser Differentialgleichung gehörige charakteristische Polynom lautet

\chi (\lambda )=\ a_{2}\lambda ^{2}+(a_{1}-a_{2})\lambda +a_{0}

und besitzt die Nullstellen

\lambda _{1,2}={\frac {a_{2}-a_{1}}{2a_{2}}}\pm {\sqrt {{\frac {(a_{2}-a_{1})^{2}}{4a_{2}^{2}}}-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}}}\ .

Fall 1: $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ , beide reell.

Dann ist $\{e^{\lambda _{1}z},e^{\lambda _{2}z}\}$ ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass $\{x^{\lambda _{1}},x^{\lambda _{2}}\}$ ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 2: $\ \lambda _{1}=\lambda _{2}$ .

Dann ist ${\displaystyle \lambda$ eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Daher ist $\ \{e^{\lambda z},ze^{\lambda z}\}$ ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass $\ \{x^{\lambda },x^{\lambda }\ln x\}$ ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 3: $\ \lambda _{1},\lambda _{2}$ beide nicht reell.

Dann sind $\ \lambda _{1},\lambda _{2}$ komplex konjugiert zueinander. Also ist $\ \{e^{\lambda _{1}z},e^{\lambda _{2}z}\}$ ein (komplexes) Fundamentalsystem. Sei $\ \lambda _{1}=\mu +i\nu$ , $\mu ,\nu \in \mathbb {R}$ . Dann ist $\ \{e^{\mu z}\sin(\nu z),e^{\mu z}\cos(\nu z)\}$ ein reelles Fundamentalsystem der transformierten linearen Differentialgleichung. Rücktransformation liefert $\ \{x^{\mu }\sin(\nu \ln x),x^{\mu }\cos(\nu \ln x)\}$ als Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung.

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Literatur

Earl A. Coddington, Norman Levinson: Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, New York 1955, ISBN 978-0-07-011542-2.
Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Seite 240, Vieweg + Teubner, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2

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