Die Exsymmediane eines Dreiecks sind definiert als die Tangenten an dem Umkreis des Dreiecks in den Eckpunkten des Dreiecks. Diese drei Exsymmediane bilden ein neues Dreieck, dessen Eckpunkte als Exsymmedian-Punkte bezeichnet werden.

Durch die Exsymmedian-Punkte verläuft auch je ein Symmedian, das heißt zwei Exsymmediane und ein zugehöriger Symmedian schneiden in einem gemeinsamen Punkt. Genauer gilt für ein Dreieck ${\displaystyle ABC}$ mit Exsymmedianen ${\displaystyle e_{a},e_{b},e_{c}}$, Symmedianen ${\displaystyle s_{a},s_{b},s_{c}}$ und Exsymmedian-Punkten ${\displaystyle E_{a},E_{b},E_{c}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{a}&=e_{b}\cap e_{c}\cap s_{a}\\E_{b}&=e_{a}\cap e_{c}\cap s_{b}\\E_{c}&=e_{a}\cap e_{b}\cap s_{c}\end{aligned}}}$

Die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke zwischen einem Exsymmedian-Punkt und zugehöriger Dreiecksseite ist proportional zu dieser Dreiecksseite und es gelten die folgenden Formeln:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{a}&=a\cdot {\frac {2\triangle }{c^{2}+b^{2}-a^{2}}}\\k_{b}&=b\cdot {\frac {2\triangle }{c^{2}+a^{2}-b^{2}}}\\k_{c}&=c\cdot {\frac {2\triangle }{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}\end{aligned}}}$

Hierbei bezeichnen ${\displaystyle \triangle }$ die Fläche des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ und ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}}$ die senkrechten Verbindungsstrecken zwischen den Dreiecksseiten ${\displaystyle a,b,c}$ und den Exsymmedian-Punkten ${\displaystyle E_{a},E_{b},E_{c}}$.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 214–215 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).