In der Zahlentheorie ist ein Faktorion (englisch Factorion) eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$, welche der Summe der Fakultät ihrer Stellen gleicht.

Mit anderen Worten und etwas allgemeiner (und mathematischer) mit Basis ${\displaystyle b}$ (also nicht nur im Dezimalsystem mit Basis ${\displaystyle b=10}$):

Sei ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl. Die Summe der Fakultät ihrer Stellen (Digits) sei für eine Basis ${\displaystyle b>1}$ wie folgt definiert:

${\displaystyle SFD_{b}(n):=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!}$

wobei ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ die Anzahl der Stellen der Zahl ${\displaystyle n}$ in der Basis ${\displaystyle b}$ angibt. ${\displaystyle n!}$ ist die Fakultät von ${\displaystyle n}$ und

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}$

ist der Wert der ${\displaystyle i}$-ten Stelle der Zahl ${\displaystyle n}$.

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ nennt man ${\displaystyle b}$-Faktorion, wenn sie zur Basis ${\displaystyle b}$ ein Fixpunkt der Abbildung ${\displaystyle SFD_{b}}$ ist, wenn also ${\displaystyle SFD_{b}(n)=n}$ gilt.

Der Name Faktorion stammt vom amerikanischen Mathematiker und Autor Clifford A. Pickover.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle n=145}$ im Dezimalsystem (also zur Basis ${\displaystyle b=10}$). Dann gilt:

${\displaystyle SFD_{10}(145)=1!+4!+5!=1+24+120=145}$

Somit ist ${\displaystyle n=145}$ ein Faktorion zur Basis 10.

• Sei ${\displaystyle n=40585}$ im Dezimalsystem (also zur Basis ${\displaystyle b=10}$). Dann gilt:

${\displaystyle SFD_{10}(40585)=4!+0!+5!+8!+5!=24+1+120+40320+120=40585}$

Somit ist ${\displaystyle n=40585}$ ein Faktorion zur Basis 10.

• Es folgt eine Liste aller Faktorionen ${\displaystyle n}$ im Dezimalsystem:

1, 2, 145, 40585 (Folge A014080 in OEIS)

• Es ist ${\displaystyle n=49_{10}={\underline {1}}\cdot 5^{2}+{\underline {4}}\cdot 5^{1}+{\underline {4}}\cdot 5^{0}=144_{5}}$ im Quinärsystem (also zur Basis ${\displaystyle b=5}$). Dann gilt:

${\displaystyle SFD_{5}(144_{5})=1!+4!+4!=1_{10}+24_{10}+24_{10}=49_{10}=144_{5}}$

Somit ist ${\displaystyle n=144_{5}}$ ein Faktorion zur Basis 5.

• Es ist ${\displaystyle n=41282_{10}={\underline {6}}\cdot 9^{4}+{\underline {2}}\cdot 9^{3}+{\underline {5}}\cdot 9^{2}+{\underline {5}}\cdot 9^{1}+{\underline {8}}\cdot 9^{0}=62558_{9}}$ im Nonärsystem (also zur Basis ${\displaystyle b=9}$). Dann gilt:

${\displaystyle SFD_{9}(62558_{9})=6!+2!+5!+5!+8!=720_{10}+2_{10}+120_{10}+120_{10}+40320_{10}=41282_{10}=62558_{9}}$

Somit ist ${\displaystyle n=62558_{9}}$ ein Faktorion zur Basis 9.

Eigenschaften

• Im Dezimalsystem gibt es nur 4 Faktorionen, nämlich 1, 2, 145 und 40585.

• Die Zahlen ${\displaystyle n=1}$ und ${\displaystyle n=2}$ sind Fixpunkte der Funktion ${\displaystyle SFD_{b}}$ für alle Basen ${\displaystyle b}$ und somit triviale Faktorionen für alle ${\displaystyle b}$. Alle anderen Faktorionen sind nichttriviale Faktorionen.

Beweis:

Es ist ${\displaystyle SFD_{b}(1)=1!=1}$ und ${\displaystyle SFD_{b}(2)=2!=2}$.

Im Dualsystem, also mit der Basis ${\displaystyle b=2}$, ist ${\displaystyle 2_{10}={\underline {1}}\cdot 2^{1}+{\underline {0}}\cdot 2^{0}=10_{2}}$ und es gilt: ${\displaystyle SFD_{2}(10_{2})=1!+0!=1_{10}+1_{10}=2_{10}=10_{2}}$. ${\displaystyle \Box }$

• Im Dualsystem (also mit der Basis ${\displaystyle b=2}$) ist die Summe der Fakultät der Ziffern die Anzahl der Ziffern ${\displaystyle k}$ selbst.

Beweis:

Es ist ${\displaystyle 0!=1!=1}$. Weil jede Zahl im Dualsystem nur aus Nullen und Einsen besteht und deren Fakultät ebenfalls immer je Eins ist, erhält man mit der Funktion ${\displaystyle SFD_{2}(n)}$ die Anzahl der Ziffern von ${\displaystyle n}$. ${\displaystyle \Box }$

• Für jede gegebene Basis ${\displaystyle b}$ gibt es nur eine endliche Anzahl von Faktorionen.

Beweis:

Man untersuche (zunächst einmal) im Dezimalsystem (also mit Basis ${\displaystyle b=10}$) den Maximalwert, den ${\displaystyle SFD_{10}(n)}$ mit einer ${\displaystyle k}$-stelligen Dezimalzahl ${\displaystyle n}$ erreichen kann. Eine ${\displaystyle k}$-stellige Dezimalzahl ${\displaystyle n}$ mit maximal großen Ziffern besteht aus ${\displaystyle k}$ 9ern. Somit muss für die Funktion ${\displaystyle SFD_{10}(n)}$ gelten: ${\displaystyle SFD_{10}(n)\leq k\cdot 9!=362880k}$.

Betrachtet man nun eine allgemeine ${\displaystyle k}$-stellige Dezimalzahl ${\displaystyle 10^{k-1}\leq n<10^{k}}$ und die soeben betrachtete Ungleichung ${\displaystyle SFD_{10}(n)\leq k\cdot 9!}$, die für alle ${\displaystyle k}$-stelligen Dezimalzahlen gilt. Es gibt nur dann Faktorionen, solange ${\displaystyle 10^{k-1}\leq n\leq SFD_{10}(n)\leq k\cdot 9!}$ gilt. Es ist aber sicherlich ${\displaystyle 9!=362880<10^{8}}$. Somit erhält man die Ungleichung ${\displaystyle 10^{k-1}\leq k\cdot 9!<k\cdot 10^{8}}$.

Wenn nun aber die Anzahl der Stellen ${\displaystyle k\geq b=10}$ ist, müsste laut der obigen Ungleichung noch immer ${\displaystyle 10^{k-1}<10\cdot 10^{8}=10^{9}}$ gelten. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn ${\displaystyle k-1<9}$ und somit ${\displaystyle k<10}$ ist, was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass ${\displaystyle k\geq 10}$ sein soll. Die Bedingung ${\displaystyle 10^{k-1}\leq n\leq SFD_{10}(n)\leq k\cdot 9!}$ stimmt also für ${\displaystyle k\geq b=10}$ nicht mehr, es kann also keine Faktorionen im Dezimalsystem geben, die 10 oder mehr Stellen haben.

Verallgemeinert man obige Überlegungen auf allgemeine Basen ${\displaystyle b}$, so erhält man die Ungleichung ${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq SFD_{b}(n)\leq k\cdot (b-1)!}$ und wegen ${\displaystyle (b-1)!<b^{b-2}}$ (für ${\displaystyle b>2}$) gilt weiters ${\displaystyle b^{k-1}\leq k\cdot (b-1)!<k\cdot b^{b-2}}$. Wenn nun auch hier die Anzahl der Stellen ${\displaystyle k\geq b}$ ist, müsste laut dieser Ungleichung noch immer ${\displaystyle b^{k-1}<b\cdot b^{b-2}=b^{b-1}}$ gelten. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn ${\displaystyle k-1<b-1}$ und somit ${\displaystyle k<b}$ ist, was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass ${\displaystyle k\geq b}$ sein soll. Die Bedingung ${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq SFD_{b}(n)\leq k\cdot (b-1)!}$ stimmt also für ${\displaystyle k\geq b}$ nicht mehr, es kann also keine Faktorionen im Zahlensystem mit Basis ${\displaystyle b}$ geben, die ${\displaystyle b}$ oder mehr Stellen haben. Die Anzahl der Faktorionen ist also nach oben hin begrenzt, es gibt somit nur endlich viele Faktorionen, was zu zeigen war. ${\displaystyle \Box }$

• Für alle Basen ${\displaystyle b\geq 2}$ zusammengenommen gibt es unendlich viele Faktorionen.

Beweis:

Es gibt Faktorionen-Gruppen, ohne auf die spezielle Basis ${\displaystyle b}$ eingehen zu müssen. Diese Gruppen bestehen aus unendlich vielen Faktorionen. Siehe weiter unten. ${\displaystyle \Box }$

Gesellige und befreundete Faktorionen

Eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ nennt man geselliges Faktorion, wenn man nach ${\displaystyle k}$-facher Anwendung von ${\displaystyle SFD_{b}}$ auf diese Zahl wieder genau diese Zahl erhält. ${\displaystyle n}$ ist dann ein periodischer Punkt und ${\displaystyle SFD_{b}}$ formt eine periodische Folge (oder Zykel) der Periodenlänge ${\displaystyle k}$. Ist die Periodenlänge ${\displaystyle k=2}$, so nennt man das gesellige Faktorion auch befreundetes Faktorion. Ist also ${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$ ein befreundetes Faktorion-Paar, so ist ${\displaystyle SFD_{b}(n_{1})=n_{2}}$ und ${\displaystyle SFD_{b}(n_{2})=n_{1}}$.

Beispiele

• Sei die Basis ${\displaystyle b=10}$, also das Dezimalsystem.

Die Summe der Fakultäten der Ziffern von ${\displaystyle n_{1}=871}$ ist ${\displaystyle 8!+7!+1!=40320+5040+1=45361}$.

Die Summe der Fakultäten der Ziffern von ${\displaystyle n_{2}=45361}$ ist ${\displaystyle 4!+5!+3!+6!+1!=24+120+6+720+1=871}$.

Somit ist ${\displaystyle SFD_{10}(871)=45361}$ und ${\displaystyle SFD_{10}(SFD_{10}(871))=SFD_{10}^{2}(871))=871}$. Es ist also ${\displaystyle n_{1}=871}$ ein periodischer Punkt, ${\displaystyle SFD_{10}}$ formt eine periodische Folge der Periodenlänge ${\displaystyle k=2}$. Somit ist ${\displaystyle (n_{1},n_{2})=(871,45361)}$ ein befreundetes Faktorion-Paar zur Basis ${\displaystyle b=10}$.

• Es folgt eine Liste aller befreundeten Faktorion-Paare ${\displaystyle (n_{1},n_{2})}$ im Dezimalsystem:

(871, 45361), (872, 45362) (Folge A214285 in OEIS)

• Sei die Basis ${\displaystyle b=10}$, also das Dezimalsystem.

Es ist ${\displaystyle SFD_{10}(169)=1!+6!+9!=1+720+362880=363601}$.

Es ist ${\displaystyle SFD_{10}(363601)=3!+6!+3!+6!+0!+1!=6+720+6+720+1+1=1454}$.

Es ist ${\displaystyle SFD_{10}(1454)=1!+4!+5!+4!=1+24+120+24=169}$.

Somit ist ${\displaystyle SFD_{10}^{3}(169))=169}$. Es ist also ${\displaystyle n_{1}=169}$ ein periodischer Punkt, ${\displaystyle SFD_{10}}$ formt eine periodische Folge der Periodenlänge ${\displaystyle k=3}$. Somit ist ${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(169,363601,1454)}$ ein geselliges Faktorion-Tripel zur Basis ${\displaystyle b=10}$.

• Es folgt eine Tabelle, der man alle Faktorionen und ausgewählte Zykel bis zur Basis ${\displaystyle b=39}$ ablesen kann:

Alle Faktorionen und ausgewählte Zykel bis zur Basis ${\displaystyle b=39}$

Basis ${\displaystyle b}$	Faktorionen zu dieser Basis im Dezimalsystem (Folge A193163 in OEIS)	Zykel geselliger und befreundeter Faktorione zur jeweiligen Basis ${\displaystyle b}$
01	${\displaystyle 1,2=||_{1},3=|||_{1},\ldots }$ (alle natürlichen Zahlen)
02	${\displaystyle 1,2=10_{2}}$	keine
03	${\displaystyle 1,2}$	keine
04	${\displaystyle 1,2,7=13_{4}}$	${\displaystyle 3_{4}\rightarrow 12_{4}\rightarrow 3_{4}}$
05	${\displaystyle 1,2,49=144_{5}}$	keine
06	${\displaystyle 1,2,25=41_{6},26=42_{6}}$	keine
07	${\displaystyle 1,2}$	${\displaystyle 36_{7}\rightarrow 2055_{7}\rightarrow 465_{7}\rightarrow 2343_{7}\rightarrow 53_{7}\rightarrow 240_{7}\rightarrow 36_{7}}$
08	${\displaystyle 1,2}$	${\displaystyle 3_{8}\rightarrow 6_{8}\rightarrow 1320_{8}\rightarrow 12_{8}\rightarrow 3_{8}}$, ${\displaystyle 175_{8}\rightarrow 12051_{8}\rightarrow 175_{8}}$
09	${\displaystyle 1,2,41282=62558_{9}}$
10	${\displaystyle 1,2,145,40585}$	${\displaystyle 871\rightarrow 45361\rightarrow 871}$, ${\displaystyle 872\rightarrow 45362\rightarrow 872}$, ${\displaystyle 169\rightarrow 363601\rightarrow 1454\rightarrow 169}$
11	${\displaystyle 1,2,26=24_{11},48=44_{11},40472=28453_{11}}$
12	${\displaystyle 1,2}$
13	${\displaystyle 1,2,519326767=83790C5B_{13}}$
14	${\displaystyle 1,2,12973363226=8B0DD409C_{14}}$
15	${\displaystyle 1,2,1441=661_{15},1442=662_{15}}$
16	${\displaystyle 1,2,2615428934649=260F3B66BF9_{16}}$
17	${\displaystyle 1,2,40465=8405_{17},43153254185213,43153254226251}$
18	${\displaystyle 1,2}$
19	${\displaystyle 1,2}$
20	${\displaystyle 1,2}$
21	${\displaystyle 1,2,25=14_{21}}$
22	${\displaystyle 1,2}$
23	${\displaystyle 1,2,1175342075206371480506}$
24	${\displaystyle 1,2,121=51_{24},122=52_{24}}$
25	${\displaystyle 1,2}$
26	${\displaystyle 1,2,2554945949267792653,2554945949267792654}$
27	${\displaystyle 1,2,5162=725_{27},15511266000434263077417003}$
28	${\displaystyle 1,2,144=54_{28}}$
29	${\displaystyle 1,2}$
30	${\displaystyle 1,2,9158749082185220449342855718547}$
31	${\displaystyle 1,2}$
32	${\displaystyle 1,2,274716917283731052265521640532641,274716917283731052265521640532642}$
33	${\displaystyle 1,2}$
34	${\displaystyle 1,2,18000109025414359935200386507490,8505776248524129345704131790637513,}$ ${\displaystyle 534758618047777477508104143107726167,535289113281800215201773008128742106}$
35	${\displaystyle 1,2,1441=166_{35}}$
36	${\displaystyle 1,2,295241305446212678223851660458757144548}$
37	${\displaystyle 1,2,1126330494971327468882309406026121376169594}$
38	${\displaystyle 1,2,383221119611008975296796004067209041063001}$
39	${\displaystyle 1,2}$

Ermitteln von Gruppen von Faktorionen

Man kann gewisse Gruppen von Faktorionen ermitteln, ohne auf die spezielle Basis ${\displaystyle b}$ eingehen zu müssen.

• Sei ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ eine positive ganze Zahl im Zahlensystem mit der Basis ${\displaystyle b=(k-1)!}$. Dann gilt:

• ${\displaystyle n_{1}=k\cdot b+1=k!+1}$ ist ein Faktorion zur Basis ${\displaystyle b}$ für alle ${\displaystyle k\geq 4}$ (in Dezimalschreibweise geschrieben).
• ${\displaystyle n_{2}=k\cdot b+2=k!+2}$ ist ein Faktorion zur Basis ${\displaystyle b}$ für alle ${\displaystyle k\geq 4}$ (in Dezimalschreibweise geschrieben).

Beweis der 1. Behauptung:

Es ist ${\displaystyle n_{1}=k\cdot b+1=k\cdot (k-1)!+1=k!+1}$.

Weiters ist ${\displaystyle n_{1}=(k\cdot b+1)_{10}={\underline {k}}\cdot b^{1}+{\underline {1}}\cdot b^{0}=k\cdot b+1=(k1)_{b}}$ die Darstellung von ${\displaystyle n_{1}}$ zur Basis ${\displaystyle b}$. Es sei also ${\displaystyle k}$ die Zehnerstelle und ${\displaystyle 1}$ die Einerstelle von ${\displaystyle n_{1}}$. Es gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}SFD_{b}(n_{1})&=&k!+1!\\&=&k\cdot (k-1)!+1\\&=&k\cdot b+1\\&=&n_{1}\end{array}}}$

Somit ist ${\displaystyle n_{1}}$ ein Faktorion für alle ${\displaystyle k\geq 4}$ zur Basis b.

Für ${\displaystyle k=3}$ gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis ${\displaystyle b=(k-1)!=2!=2}$ wäre und ${\displaystyle n_{1}}$ in diesem Zahlensystem die Form ${\displaystyle n_{1}=(31)_{2}}$ hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem die Ziffer ${\displaystyle 3}$ gar nicht gibt. Analog verhält es sich mit ${\displaystyle k=2}$ und ${\displaystyle k=1}$. ${\displaystyle \Box }$

Beweis der 2. Behauptung:

Es ist ${\displaystyle n_{2}=k\cdot b+2=k\cdot (k-1)!+2=k!+2}$.

Weiters ist ${\displaystyle n_{2}=(k\cdot b+2)_{10}={\underline {k}}\cdot b^{1}+{\underline {2}}\cdot b^{0}=k\cdot b+2=(k2)_{b}}$ die Darstellung von ${\displaystyle n_{2}}$ zur Basis ${\displaystyle b}$. Es sei also ${\displaystyle k}$ die Zehnerstelle und ${\displaystyle 2}$ die Einerstelle von ${\displaystyle n_{2}}$. Es gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}SFD_{b}(n_{2})&=&k!+2!\\&=&k\cdot (k-1)!+2\\&=&k\cdot b+2\\&=&n_{2}\end{array}}}$

Somit ist ${\displaystyle n_{2}}$ ein Faktorion für alle ${\displaystyle k\geq 4}$ zur Basis b.

Für ${\displaystyle k=3}$ gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis ${\displaystyle b=(k-1)!=2!=2}$ wäre und ${\displaystyle n_{2}}$ in diesem Zahlensystem die Form ${\displaystyle n_{2}=(32)_{2}}$ hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem diese Ziffern gar nicht gibt. Analog verhält es sich mit ${\displaystyle k=2}$ und ${\displaystyle k=1}$. ${\displaystyle \Box }$

Beispiel:

${\displaystyle k}$	Basis ${\displaystyle b=(k-1)!}$	Faktorion
		${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$
4	6	${\displaystyle 25=41_{6}}$	${\displaystyle 26=42_{6}}$
5	24	${\displaystyle 121=51_{24}}$	${\displaystyle 122=52_{24}}$
6	120	${\displaystyle 721=61_{120}}$	${\displaystyle 722=62_{120}}$
7	720	${\displaystyle 5041=71_{720}}$	${\displaystyle 5042=72_{720}}$
8	5040	${\displaystyle 40321=81_{5040}}$	${\displaystyle 40322=82_{5040}}$

• Sei ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ eine positive ganze Zahl im Zahlensystem mit der Basis ${\displaystyle b=k!-k+1}$. Dann gilt:

• ${\displaystyle n_{1}=b+k=k!+1}$ ist ein Faktorion zur Basis ${\displaystyle b}$ für alle ${\displaystyle k\geq 2}$ (in Dezimalschreibweise geschrieben)

Beweis:

Es ist ${\displaystyle n_{1}=b+k=k!-k+1+k=k!+1}$.

Weiters ist ${\displaystyle n_{1}=(b+k)_{10}={\underline {1}}\cdot b^{1}+{\underline {k}}\cdot b^{0}=(1k)_{b}}$ die Darstellung von ${\displaystyle n_{1}}$ zur Basis ${\displaystyle b}$. Es sei also ${\displaystyle 1}$ die Zehnerstelle und ${\displaystyle k}$ die Einerstelle von ${\displaystyle n_{1}}$. Dann ist ${\displaystyle n_{1}=1\cdot b+k}$ und es gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}SFD_{b}(n_{1})&=&1!+k!\\&=&k!+1-k+k\\&=&1\cdot (k!-k+1)+k\\&=&1\cdot b+k\\&=&n_{1}\end{array}}}$

Für ${\displaystyle k=2}$ gilt diese Behauptung nicht, weil sonst die Basis ${\displaystyle b=k!-k+1=2!-2+1=2-2+1=1}$ wäre und ${\displaystyle n_{1}}$ in diesem Zahlensystem die Form ${\displaystyle n_{1}=(12)_{1}}$ hätte, obwohl es in diesem Zahlensystem die Ziffer ${\displaystyle 2}$ gar nicht gibt.

Somit ist ${\displaystyle n_{1}}$ ein Faktorion für alle ${\displaystyle k\geq 3}$ zur Basis b. ${\displaystyle \Box }$

Beispiel:

${\displaystyle k}$	Basis ${\displaystyle b=k!-k+1}$	Faktorion ${\displaystyle n_{1}}$
3	4	${\displaystyle 7=13_{4}}$
4	21	${\displaystyle 25=14_{21}}$
5	116	${\displaystyle 121=15_{116}}$
6	715	${\displaystyle 721=16_{715}}$
7	5034	${\displaystyle 5041=17_{5034}}$

Siehe auch

• Fröhliche Zahl
• Kaprekar-Zahl
• Münchhausen-Zahl
• Narzisstische Zahl

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Factorion. In: MathWorld (englisch).
• Programme zur Berechnung von Faktorionen. rosettacode.org, abgerufen am 1. April 2022. 
• number theory part 3 -5 Factorion auf YouTube

Einzelnachweise

1. ↑ Martin Gardner: Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-Of-Mind. Factorial Oddities. Hrsg.: Vintage Books. 1978, ISBN 978-0-394-72623-6, S. 61, 64 ( auf books.google.at). 
2. ↑ Joseph S. Madachy: Madachy's Mathematical Recreations. Hrsg.: Dover Publications. 1979, ISBN 978-0-394-40822-4, S. 167 ( auf books.google.at). 
3. 1 2 3 4 5 Shyam Sunder Gupta: Sum of the factorials of the digits of integers. The Mathematical Gazette 88 (512), Juli 2004, S. 258–261, abgerufen am 16. April 2022. 
4. ↑ Steve Abbott: SFD chains and factorion cycles. The Mathematical Gazette 88 (512), Juli 2004, S. 261–263, abgerufen am 16. April 2022. 
5. ↑ Clifford A. Pickover: Keys To Infinity. The Loneliness of the Factorions. Hrsg.: John Wiley & Sons. 1995, ISBN 978-0-471-11857-2, S. 169–171, 319–320 ( auf scribd.com). 
6. ↑ Comments zur Folge A014080 in OEIS
7. ↑ Comments zur Folge A214285 in OEIS