Geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten

Es sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene orientierbare ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist

${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

und man bezeichnet einen der beiden Erzeuger als Fundamentalklasse ${\displaystyle \left[M\right]}$.

Mannigfaltigkeiten mit Rand

Es sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte, orientierbare ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist

${\displaystyle H_{n}(M,\partial M;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

und man bezeichnet einen der beiden Erzeuger als relative Fundamentalklasse ${\displaystyle \left[M,\partial M\right]}$.

Nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten

Es sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, nicht notwendig orientierbare, ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist

${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

und man bezeichnet den Erzeuger (d. h. das nichttriviale Element) als ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$-Fundamentalklasse.

Lokale Orientierungen

Es sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gilt

${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus \left\{x\right\};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

für jeden Punkt ${\displaystyle x\in M}$. Falls ${\displaystyle M}$ geschlossen und orientierbar ist, dann ist

${\displaystyle i_{*}\colon H_{n}(M;\mathbb {Z} )\to H_{n}(M,M\setminus \left\{x\right\};\mathbb {Z} )}$

ein Isomorphismus und man bezeichnet das Bild der Fundamentalklasse ${\displaystyle \left[M\right]}$ unter ${\displaystyle i_{*}}$ als lokale Orientierung in ${\displaystyle x}$.

Nichtkompakte Mannigfaltigkeiten

Es sei ${\displaystyle M}$ eine orientierbare ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gibt es zu jeder kompakten Teilmenge ${\displaystyle K\subset M}$ eine Homologieklasse

${\displaystyle \left[M\right]_{K}\in H_{n}(M,M\setminus K;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

so dass jede Inklusion ${\displaystyle K_{1}\to K_{2}}$ kompakter Teilmengen die Klasse ${\displaystyle \left[M\right]_{K_{2}}}$ auf ${\displaystyle \left[M\right]_{K_{1}}}$ abbildet.

Kronecker-Paarung

Die kanonische Kronecker-Paarung zwischen Homologie und Kohomologie lässt sich im Fall ${\displaystyle n}$-dimensionaler, geschlossener, orientierbarer Mannigfaltigkeiten wie folgt interpretieren. Sei die Kohomologieklasse ${\displaystyle \beta \in H^{n}(M;\mathbb {R} )}$ in De-Rham-Kohomologie repräsentiert durch die Differentialform ${\displaystyle \omega }$, dann ist

${\displaystyle \langle \beta ,\left[M\right]\rangle =\int _{M}\omega }$.