Vektorzustände

Sei ${\displaystyle A}$ eine involutive Unteralgebra von ${\displaystyle L(H)}$, der Algebra der beschränkten, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ mit Einselement ${\displaystyle e:=\mathrm {id} _{H}\in A}$. Ist dann ${\displaystyle \xi \in H}$ ein Vektor der Norm 1, so definiert dieser durch

${\displaystyle \omega _{\xi }(a):=\langle a\xi ,\xi \rangle }$ für ${\displaystyle a\in A}$

einen Zustand ${\displaystyle \omega _{\xi }}$ auf ${\displaystyle A}$, den sogenannten durch ${\displaystyle \xi }$ definierten Vektorzustand, denn es gilt für jedes ${\displaystyle a\in A}$

${\displaystyle \omega _{\xi }(a^{*}a)=\langle a^{*}a\xi ,\xi \rangle =\langle a\xi ,a\xi \rangle =\|a\xi \|^{2}\geq 0}$ und

${\displaystyle \|\omega _{\xi }\|=\sup _{a\in A,\|a\|\leq 1}|\omega _{\xi }(a)|=\sup _{a\in A,\|a\|\leq 1}|\langle a\xi ,\xi \rangle |\leq \sup _{a\in A,\|a\|\leq 1}\|a\|\|\xi \|^{2}=1}$

Hier gilt Gleichheit, denn ${\displaystyle |\omega _{\xi }(e)|=\langle e\xi ,\xi \rangle =\|\xi \|^{2}=1}$. Daher ist ${\displaystyle \omega _{\xi }}$ ein Zustand.

Ist ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ eine Zahl vom Betrag 1, ein insbesondere in der Physik sogenannter Phasenfaktor, so definieren ${\displaystyle \xi }$ und ${\displaystyle \lambda \xi }$ denselben Zustand, denn für ${\displaystyle a\in A}$ ist

${\displaystyle \omega _{\lambda \xi }(a)=\langle a(\lambda \xi ),\lambda \xi \rangle =\lambda {\overline {\lambda }}\langle a\xi ,\xi \rangle =|\lambda |^{2}\langle a\xi ,\xi \rangle =\langle a\xi ,\xi \rangle =\omega _{\xi }(a)}$.

In der Quantenmechanik identifiziert man auf 1 normierte Hilbertraumvektoren mit quantenmechanischen Zuständen, meint aber eigentlich die durch sie definierten Vektorzustände, denn der Messwert einer Observablen im Zustand ${\displaystyle \xi }$ ist ${\displaystyle \langle a\xi ,\xi \rangle =\omega _{\xi }(a)}$. Damit wird klar, dass ein Hilbertraumvektor einen Zustand nur bis auf einen Phasenfaktor, der in der Form ${\displaystyle e^{i\omega t}}$ auftritt, eindeutig bestimmt.

Räume von Maßen

Sei ${\displaystyle A=C[0,1]}$ die C*-Algebra der stetigen Funktionen ${\displaystyle [0,1]\rightarrow \mathbb {K} }$, die Involution wird durch die komplexe Konjugation definiert. Der Dualraum ist bekanntlich der Raum der signierten Borelmaße, wobei die Operation eines solchen Maßes ${\displaystyle \mu }$ auf eine stetige Funktion ${\displaystyle f\in C[0,1]}$ durch

${\displaystyle \mu (f):=\int f\mathrm {d} \mu }$

gegeben ist. Da

${\displaystyle \mu ({\overline {f}}f)=\mu (|f|^{2})=\int |f|^{2}\mathrm {d} \mu }$,

sind die Zustände auf ${\displaystyle C[0,1]}$ genau die positiven Borelmaße mit Totalvariationsnorm ${\displaystyle \|\mu \|=1}$. Diese Überlegungen können auf beliebige Algebren von C₀-Funktionen verallgemeinert werden.

Lokalkompakte Gruppen

Es sei ${\displaystyle L^{1}(G)}$ die Gruppenalgebra einer lokalkompakten Gruppe, das ist die Faltungsalgebra der bezüglich des Links-Haarmaßes integrierbaren Funktionen. Der Dualraum ist bekanntlich ${\displaystyle L^{\infty }(G)}$, das heißt der Raum der wesentlich beschränkten Funktionen. Eine ${\displaystyle L^{\infty }(G)}$-Funktion ${\displaystyle \varphi }$ operiert auf ${\displaystyle L^{1}(G)}$ durch die Definition

${\displaystyle \varphi (f):=\int \varphi \cdot f\mathrm {d} \mu }$,

wobei ${\displaystyle \mu }$ das Haarsche Maß ist. ${\displaystyle \varphi }$ ist genau dann ein Zustand auf ${\displaystyle L^{1}(G)}$, wenn

• ${\displaystyle \|\varphi \|=1}$
• ${\displaystyle \varphi }$ stimmt fast überall mit einer stetigen, positiv-definiten Funktion überein.

Dabei heißt eine Funktion ${\displaystyle \varphi }$ positiv-definit, falls die Matrix ${\displaystyle (\varphi (s_{i}^{-1}s_{j}))_{i,j}}$ für jede endliche Anzahl von Elementen ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in G}$ positiv definit ist.

C*-Algebren

Für C*-Algebren mit Einselement kann man Zustände ohne Bezugnahme auf die Involution definieren. Für den Zustandsraum einer solchen Algebra ${\displaystyle A}$ gilt

${\displaystyle S(A)=\{f\in A'|\,\|f\|=f(e)=1\}}$,

wobei ${\displaystyle A'}$ den Dualraum von ${\displaystyle A}$ bezeichnet. Die Eigenschaft ${\displaystyle f(a^{*}a)\geq 0}$ folgt automatisch. Es gilt sogar allgemeiner für C*-Algebren ohne Einselement:

Ist ${\displaystyle f\in A'}$ ein stetiges, lineares Funktional und gilt ${\displaystyle \textstyle \|f\|=\lim _{i\in I}f(e_{i})}$ für irgendeine 1-beschränkte Approximation der Eins ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ von ${\displaystyle A}$, so ist ${\displaystyle f}$ ein Zustand.

Konvexe Hülle des Spektrums

Da der Zustandsraum ${\displaystyle S(A)}$ einer C*-Algebra ${\displaystyle A}$ mit Einselement konvex und schwach-*-kompakt ist, und da für jedes ${\displaystyle a\in A}$ die Abbildung ${\displaystyle A'\rightarrow \mathbb {C} ,f\mapsto f(a)}$ linear und schwach-*-stetig ist, ist auch

${\displaystyle \{f(a);f\in S(A)\}\subset \mathbb {C} }$

konvex und kompakt. Man kann zeigen, dass das Spektrum ${\displaystyle \sigma (a)}$ von ${\displaystyle a}$ stets in dieser Menge enthalten ist, das heißt, es gilt

${\displaystyle \mathrm {conv} (\sigma (a))\subset \{f(a);f\in S(A)\}}$,

wobei ${\displaystyle \mathrm {conv} }$ für die konvexe Hülle einer Menge steht. Für normale Elemente gilt Gleichheit, im Allgemeinen ist die Inklusion aber echt, wie das Beispiel ${\displaystyle a={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\in L(\mathbb {C} ^{2})}$ zeigt. Das Spektrum dieses nilpotenten Elements ${\displaystyle a}$ ist ${\displaystyle \{0\}}$, stimmt also mit der eigenen konvexen Hülle überein, aber für den Einheitsvektor ${\displaystyle \textstyle \xi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$ ist ${\displaystyle \textstyle \omega _{\xi }(a)={\frac {1}{2}}}$ nicht in der konvexen Hülle des Spektrums enthalten.

Normale Zustände

Auf Von-Neumann-Algebren hat man neben der Normtopologie weitere Operatortopologien und es ist daher von Interesse, welche Zustände bzgl. dieser Topologien stetig sind. Die ultraschwach-stetigen Zustände heißen normal, es sind genau diejenigen, die sich als abzählbare Summe von Vielfachen von Vektorzuständen schreiben lassen. Sie können auf verschiedene Weisen charakterisiert werden und spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der Von-Neumann-Algebren, insbesondere auch deshalb, weil die GNS-Konstruktion zu einem Homomorphismus zwischen Von-Neumann-Algebren führt.

Spurzustände

Erfüllt der Zustand ${\displaystyle f}$ die Bedingung ${\displaystyle f(ab)=f(ba)}$ für alle Elemente ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ der Algebra, so verhält er sich wie eine Spur. Man spricht daher von einem Spurzustand. Alle Zustände auf einer kommutativen Algebra sind Spurzustände. Die Spur auf der Algebra der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen ist ein Spurzustand. UHF-Algebren besitzen eindeutige Spurzustände.

Treue Zustände

Ein Zustand ${\displaystyle f}$ heißt treu, wenn aus ${\displaystyle f(a^{*}a)=0}$ schon ${\displaystyle a=0}$ folgt. In diesem Fall ist das Linksideal ${\displaystyle N_{f}}$ aus der GNS-Konstruktion gleich dem Nullideal und die Konstruktion vereinfacht sich erheblich, die konstruierte Darstellung ist treu, das heißt injektiv. Auf separablen C*-Algebren gibt es stets treue Zustände. Die Existenz treuer, normaler Zustände charakterisiert die σ-endlichen Von-Neumann-Algebren.

Reine Zustände

Der Quasizustandsraum ist konvex und schwach-*-kompakt, besitzt also nach dem Satz von Krein-Milman viele Extremalpunkte. Die von 0 verschiedenen Extremalpunkte des Quasizustandsraums sind Zustände und heißen reine Zustände, da sie nicht Mischungen, das heißt Konvexkombinationen, anderer Zustände sein können.

Im Falle kommutativer C*-Algebren ${\displaystyle A}$ sind die reinen Zustände genau die *-Homomorphismen ${\displaystyle A\rightarrow \mathbb {C} }$. Im Falle nicht-kommutativer C*-Algebren sind die reinen Zustände genau diejenigen, deren GNS-Konstruktion zu irreduziblen Darstellungen führen.