Voraussetzungen

Sei ${\displaystyle V}$ ein reeller Hilbertraum mit der Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$. Sei ${\displaystyle a\colon V\times V\to \mathbb {R} }$ eine Bilinearform, die

• beschränkt (äquivalent dazu stetig), d. h. ${\displaystyle |a(v,w)|\leq C\|v\|\,\|w\|}$ für eine Konstante ${\displaystyle C>0}$ und alle ${\displaystyle v,w\in V}$

• und koerzitiv (häufig auch stark positiv, V-elliptisch), d. h. ${\displaystyle a(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}}$ für eine Konstante ${\displaystyle \alpha >0}$ und alle ${\displaystyle v\in V}$

ist. Sei weiter ${\displaystyle L\colon V\to \mathbb {R} }$ ein beschränkter linearer Operator.

Problemstellung

Betrachte das Problem, ein ${\displaystyle u\in V}$ mit

${\displaystyle a(u,v)=L(v)\,}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$

zu finden. Betrachte nun das gleiche Problem in einem Unterraum ${\displaystyle V_{h}\subset V}$, d. h. es ist ein ${\displaystyle u_{h}\in V_{h}}$ zu finden mit

${\displaystyle a(u_{h},v)=L(v)\,}$ für alle ${\displaystyle v\in V_{h}}$.

Nach dem Lemma von Lax-Milgram gibt es für beide Probleme eine eindeutige Lösung.

Aussage des Lemmas

Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann besagt das Lemma von Céa:

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\frac {C}{\alpha }}\inf _{v_{h}\in V_{h}}\left(\|u-v_{h}\|\right)}$.

Dies bedeutet, dass die Approximation der Lösung ${\displaystyle u_{h}}$ aus dem Unterraum ${\displaystyle V_{h}}$ höchstens um die Konstante ${\displaystyle {\tfrac {C}{\alpha }}}$ schlechter ist als die beste Approximation für ${\displaystyle u}$ im Raum ${\displaystyle V_{h}}$, sie ist quasi-optimal.

Bemerkungen

Mit einer symmetrischen Bilinearform verkleinert sich die Konstante auf ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {C}{\alpha }}}}$, der Beweis ist weiter unten angegeben.

Das Lemma von Céa gilt auch für komplexe Hilberträume, indem eine Sesquilinearform ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ statt der Bilinearform verwendet wird. Die Koerzivität wird dann zu ${\displaystyle |a(v,v)|\geq \alpha \|v\|^{2}}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$, man beachte die Betragszeichen um ${\displaystyle a(v,v)}$.

Die Approximationsgüte des Ansatzraums ${\displaystyle V_{h}}$ bestimmt den Approximationsfehler ${\displaystyle \|u-u_{h}\|}$ stark.

Die Energienorm

In vielen Anwendungen ist die Bilinearform ${\displaystyle a}$ symmetrisch, also ${\displaystyle a(v,w)=a(w,v)}$ für alle ${\displaystyle v,w}$ in ${\displaystyle V}$. Mit den Voraussetzungen des Céa-Lemmas ergibt sich, dass ${\displaystyle a}$ ein Skalarprodukt von ${\displaystyle V}$ ist. Die implizierte Norm ${\displaystyle \|v\|_{a}={\sqrt {a(v,v)}}}$ wird Energienorm genannt, weil sie in vielen physikalischen Problemen eine Energie darstellt. Diese Norm ist äquivalent zur Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ des Vektorraums ${\displaystyle V}$.

Das Lemma von Céa in der Energienorm

Aus der Galerkin-Orthogonalität von ${\displaystyle u-u_{h}}$ mit ${\displaystyle V_{h}}$ und der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ergibt sich

${\displaystyle \|u-u_{h}\|_{a}^{2}=a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \|u-u_{h}\|_{a}\cdot \|u-v\|_{a}}$ für alle ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle V_{h}}$.

Somit lautet das Lemma von Céa in der Energienorm:

${\displaystyle \|u-u_{h}\|_{a}\leq \|u-v\|_{a}}$ für alle ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle V_{h}}$.

Man beachte, dass die Konstante ${\displaystyle {\tfrac {C}{\alpha }}}$ auf der rechten Seite verschwunden ist.

Das bedeutet, dass die Unterraum-Lösung ${\displaystyle u_{h}}$ die beste Approximation der Lösung ${\displaystyle u}$ bezüglich der Energienorm ist. Geometrisch lässt sich ${\displaystyle u_{h}}$ als Projektion bezüglich ${\displaystyle a}$ von ${\displaystyle u}$ auf den Unterraum ${\displaystyle V_{h}}$ interpretieren.

Folgerungen

Damit lässt sich die schärfere Schranke für symmetrische Bilinearformen für die gewöhnliche Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ des Vektorraums ${\displaystyle V}$ zeigen. Aus

${\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=\|u-u_{h}\|_{a}^{2}\leq \|u-v\|_{a}^{2}\leq C\|u-v\|^{2}}$ für alle ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle V_{h}}$

folgt

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\sqrt {\frac {C}{\alpha }}}\|u-v\|}$ für alle ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle V_{h}}$.

Galerkin-Orthogonalität

Die in der Problemstellung gegebenen Gleichung ${\displaystyle a(u,v)=L(v)}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$ und ${\displaystyle a(u_{h},v)=L(v)}$ für alle ${\displaystyle v\in V_{h}}$ werden voneinander abgezogen, was wegen ${\displaystyle V_{h}\subset V}$ möglich ist. Die resultierende Gleichung lautet ${\displaystyle a(u-u_{h},v)=0}$ für alle ${\displaystyle v\in V_{h}}$ und wird Galerkin-Orthogonalität genannt.

Abschätzung

Die Bilinearform ${\displaystyle a}$ ist koerziv

${\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})}$

Addition von 0, sei ${\displaystyle v_{h}\in V_{h}}$

${\displaystyle =a(u-u_{h},u-v_{h}+v_{h}-u_{h})}$

Mit Bilinearität von ${\displaystyle a}$

${\displaystyle =a(u-u_{h},u-v_{h})+a(u-u_{h},v_{h}-u_{h})}$

Der zweite Term ist 0 wegen der Galerkin-Orthogonalität, da ${\displaystyle v:=v_{h}-u_{h}\in V_{h}}$

${\displaystyle =a(u-u_{h},u-v_{h})}$

Die Bilinearform ${\displaystyle a}$ ist stetig

${\displaystyle \leq C\|u-u_{h}\|\|u-v_{h}\|}$

Die Gleichung kann durch ${\displaystyle \|u-u_{h}\|}$ geteilt werden. Da ${\displaystyle v_{h}}$ beliebig aus ${\displaystyle V_{h}}$ gewählt ist, kann auch das Infimum gewählt werden, wodurch wir die Aussage erhalten.