Selbstähnlichkeit

${\displaystyle X^{H}}$ ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse ${\displaystyle (X^{H}(ct))_{t\geq 0}}$ und ${\displaystyle (c^{H}X^{H}(t))_{t\geq 0}}$ für jedes feste c >0 dieselbe Verteilung besitzen.

Stationäre Inkremente

Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung

${\displaystyle E[(X^{H}(t)-X^{H}(s))^{2}]=|t-s|^{2H},\quad t,s\geq 0.}$

Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:

• falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
• falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
• falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

Pfadeigenschaften

Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index ${\displaystyle \alpha }$ für jedes ${\displaystyle \alpha <H}$.

Stochastische Integration

Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.