Der Gergonne-Punkt eines Dreiecks (benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Diez Gergonne) ist ein ausgezeichneter Punkt im Inneren eines Dreiecks.

Definition

Der Inkreis eines Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ habe den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ und berühre die Seiten des Dreiecks in den Punkten ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle Z}$. Gergonne zeigte, dass sich die drei Verbindungsstrecken zwischen diesen Berührungspunkten und der jeweils gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt ${\displaystyle G}$, schneiden. Das Dreieck ${\displaystyle XYZ}$ wird als Gergonne-Dreieck bezeichnet.

Dass sich diese drei Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus ${\displaystyle {\overline {AZ}}={\overline {AY}}}$ usw. und dem Satz von Ceva.

Eigenschaften

• Der Gergonne-Punkt liegt mit dem Schwerpunkt und dem Mittenpunkt (in dieser Reihenfolge) auf einer Geraden.
• Gergonne-Punkt und Nagel-Punkt sind isotomisch konjugiert.

Koordinaten

Gergonne-Punkt (X7)
Trilineare Koordinaten	${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}\,:\,{\frac {ca}{c+a-b}}\,:\,{\frac {ab}{a+b-c}}}$ ${\displaystyle =\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\beta }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}$
Baryzentrische Koordinaten	${\displaystyle {\frac {1}{b+c-a}}\,:\,{\frac {1}{c+a-b}}\,:\,{\frac {1}{a+b-c}}}$

Literatur

• Peter Baptist: Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. In: Sudhoffs Archiv, 71, 1987, 2, S. 230–233.
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, S. 78.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Gergonne Point. In: MathWorld (englisch).
• Gergonne-Punkt – Visualisierung mit GeoGebra.