Definition

Ist U eine Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, dann nennt man U abgeschlossen, falls gilt:

Für jedes ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ außerhalb von U gibt es ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$, so dass jeder Punkt ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle \|x-y\|<\varepsilon }$, ebenfalls außerhalb U liegt.

Erläuterung

Beachte, dass das ε vom Punkt x abhängt, d. h. für verschiedene Punkte gibt es verschiedene ε. Anschaulich ist die Menge der Punkte, deren Abstand von x kleiner ist als ε, eine Kugel, und zwar nur das Innere ohne die Oberfläche. Man nennt sie deshalb auch eine offene Kugel. (Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ist diese Kugel das Innere eines Kreises.)

Die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem Punkt x kleiner oder gleich einer positiven Zahl r ist, ist auch eine Kugel, man nennt sie abgeschlossene Kugel, da sie die Definition einer abgeschlossenen Menge erfüllt.

Eigenschaften

Ist M eine abgeschlossene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle (x_{n})}$ eine Folge von Elementen von M, die im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ konvergiert, dann liegt der Grenzwert von ${\displaystyle (x_{n})}$ ebenfalls in M. Diese Eigenschaft kann alternativ benutzt werden, um abgeschlossene Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zu definieren.

Jede abgeschlossene Menge U vom ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ lässt sich als Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Mengen darstellen. Zum Beispiel ist das abgeschlossene Intervall [0,1] der Durchschnitt der offenen Intervalle  ${\displaystyle \textstyle \left(-{\frac {1}{n}},1+{\frac {1}{n}}\right)}$   für alle natürlichen Zahlen n.

Definition

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle U}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle X}$. Dann nennt man ${\displaystyle U}$ abgeschlossen, wenn gilt:

Für jedes ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle X\setminus U}$ gibt es eine reelle Zahl ${\displaystyle \varepsilon >0}$, so dass für jeden Punkt ${\displaystyle y}$ aus ${\displaystyle X}$ gilt: Aus ${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon }$ folgt, dass ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle X\setminus U}$ liegt.

Auch hier hängt die Wahl von ${\displaystyle \varepsilon }$ von ${\displaystyle x}$ ab.

Das ist gleichbedeutend mit folgender Eigenschaft: Ist ${\displaystyle (a_{n})}$ eine Folge von Elementen aus U, die in X konvergiert, dann liegt der Grenzwert in U.

Abgeschlossene Kugel

In Analogie zum euklidischen Raum nennt man die Menge der Punkte y, deren Abstand d(x,y) zu x kleiner oder gleich ε ist, eine abgeschlossene Kugel. Formal schreibt man

${\displaystyle {\overline {B}}_{r}(x):=\{\,y\in X\mid d(x,y)\leq r\,\}}$

und nennt diese Menge die abgeschlossene Kugel in X mit Mittelpunkt x und reellem Radius r > 0.

Bei der abgeschlossenen Kugel wird der Rand bzw. die Hülle der Kugel mit einbezogen: Alle y der Grundmenge X die zum Mittelpunkt x einen Abstand haben, der kleiner oder gleich r ist, gehören zur Kugel. (Beachte die im Artikel Norm (Mathematik) gegebenen Beispiele, dass eine Kugel bezüglich einer Metrik nicht immer „kugelförmig“ bzw. „kreisförmig“ ist.)

Die Definition einer abgeschlossenen Menge lässt sich nun so schreiben:

Sei (X,d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Teilmenge U von X abgeschlossen, falls gilt:

${\displaystyle \forall {x\in X\setminus U}:{\exists \varepsilon }>{0}:B_{\varepsilon }(x)\cap U=\emptyset }$

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition für euklidische Räume, denn jeder euklidische Raum ist ein metrischer Raum, und für euklidische Räume stimmen die Definitionen überein.

Beispiele

Betrachtet man die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der üblichen euklidischen Metrik, so sind die folgenden Beispiele abgeschlossene Mengen:

• Das oben genannte abgeschlossene Intervall ${\displaystyle [0,1]}$, das sind alle Zahlen zwischen 0 und 1 einschließlich. Dieses Intervall ist auch ein Beispiel für eine abgeschlossene Kugel in ${\displaystyle \mathbb {R} }$: Der Mittelpunkt ist 1/2, der Radius ist 1/2.
• jede einelementige Menge ${\displaystyle \{a\}}$.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ selbst ist abgeschlossen (und offen).
• Die leere Menge ist abgeschlossen (und offen).
• Die Menge ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ der rationalen Zahlen ist abgeschlossen in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, aber nicht abgeschlossen in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Das Intervall ${\displaystyle [0,\pi )}$ ist nicht abgeschlossen in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (${\displaystyle \pi }$ ist die Kreiszahl Pi), die Menge aller rationalen Zahlen ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle 0\leq x<\pi }$ ist dagegen abgeschlossen in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• Endliche Mengen sind stets abgeschlossen.
• Als nicht-triviales Beispiel kann man eine offene Grundmenge nehmen, z. B. ${\displaystyle (0,3)}$. Auf dieser Menge ist das Intervall ${\displaystyle (0,3)}$ selbst abgeschlossen, da jede Menge in sich abgeschlossen ist.

Im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ kann man sich abgeschlossene Mengen vorstellen als Mengen, die ihren Rand enthalten.

Eigenschaften

Jede abgeschlossene Kugel ist eine abgeschlossene Menge. Der Beweis dazu wird von nebenstehender Abbildung veranschaulicht: Zum Punkt ${\displaystyle y_{2}}$ außerhalb der abgeschlossenen Kugel ${\displaystyle {\overline {B}}(x,r)}$ findet man ein ${\displaystyle \epsilon _{2}}$, nämlich ${\displaystyle \epsilon _{2}=d(x,y_{2})-r}$, so dass ${\displaystyle B(y_{2},\epsilon _{2})}$ ganz außerhalb von ${\displaystyle B(x,r)}$ liegt. Analog sieht man an dieser Darstellung, dass jede offene Kugel offen ist.

Die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Mengen ist wieder eine abgeschlossene Menge. Daraus kann man folgern, dass die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist. Die Vereinigung unendlich vieler abgeschlossener Mengen muss jedoch nicht abgeschlossen sein. Vereinigt man alle einelementigen Mengen ${\displaystyle \textstyle \left\{{\tfrac {1}{a}}\right\}}$ für ${\displaystyle a\in \mathbb {N} }$ ist die resultierende Menge weder offen noch abgeschlossen.

Der Durchschnitt beliebig vieler (also auch unendlich vieler) abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.