Eindeutigkeitssatz

Für ein elektrostatisches Potential ${\displaystyle \phi \!\,}$ gilt die Poissongleichung ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-4\pi \rho }$ wobei ${\displaystyle \rho \!\,}$ die elektrische Ladungsdichte ist (gaußsches Einheitensystem). Wenn in einem Volumen ${\displaystyle U\!\,}$ die Ladungsdichte gegeben ist, und wenn zusätzlich auf dem Rand ${\displaystyle \partial U}$ die Werte von ${\displaystyle \phi \!\,}$ gegeben sind (Dirichlet-Randbedingung), dann gilt:

Innerhalb von ${\displaystyle U\!\,}$ ist ${\displaystyle \phi ({\vec {r}})}$ eindeutig bestimmt.

Beweis: Es seien ${\displaystyle \phi _{1}({\vec {r}})}$ und ${\displaystyle \phi _{2}({\vec {r}})}$ zwei Potentiale, die dieselben Vorgaben über Ladungsdichte und Randwerte erfüllen. Für die Differenzfunktion gilt dann

${\displaystyle \chi ({\vec {r}}):=\phi _{1}({\vec {r}})-\phi _{2}({\vec {r}})\qquad {\begin{array}{rl}\nabla ^{2}\chi ({\vec {r}})=0&{\vec {r}}\in U\\\chi ({\vec {r}})=0&{\vec {r}}\in \partial U\end{array}}}$

Setzt man ${\displaystyle \chi \!\,}$ in der ersten greenschen Formel für ${\displaystyle \phi \!\,}$ und auch für ${\displaystyle \psi \!\,}$ ein, so folgt

${\displaystyle \int _{U}\nabla \chi \cdot \nabla \chi \,\mathrm {d} U=0}$

Also muss der Gradient ${\displaystyle \nabla \chi }$ überall in ${\displaystyle U\!\,}$ verschwinden, somit ${\displaystyle \chi \,}$ konstant sein, und wegen seines Null-Randwerts sogar konstant gleich null sein. Also gilt ${\displaystyle \phi _{1}({\vec {r}})=\!\,\phi _{2}({\vec {r}})}$ innerhalb von ${\displaystyle U\!\,}$.

N.B. Bei dem Beweis wird die Poissongleichung und somit die Ladungsdichte nur innerhalb von ${\displaystyle U\!\,}$ benutzt.

Abschirmung durch geschlossene Leiterfläche

${\displaystyle \partial U}$ sei eine geschlossene Leiterfläche, so dass das elektrostatische Potential ${\displaystyle \phi \!\,}$ auf ${\displaystyle \partial U}$ einen konstanten Wert ${\displaystyle \phi _{0}\!\,}$ hat (Äquipotentialfläche). Zum Beispiel lässt sich ${\displaystyle \phi _{0}\!\,=0}$ physikalisch realisieren, indem die Leiterfläche geerdet wird. Nach dem Eindeutigkeitssatz ist der Potentialverlauf innerhalb von ${\displaystyle U\!\,}$ bereits durch die Ladungsverteilung in ${\displaystyle U\!\,}$ und durch den Randwert bestimmt. Folglich haben elektrische Ladungen im Aussenraum keinen Einfluss auf den Potentialverlauf im Innenraum.

Wenn die geschlossene Leiterfläche nicht geerdet ist, dann sind die Randwerte von ${\displaystyle \phi \!\,}$ immer noch konstant, aber mit unbekanntem Wert. Dieser Wert kann davon abhängen, welche Ladungen außerhalb von ${\displaystyle U\!\,}$ vorhanden sind. Der Beweis des Eindeutigkeitssatzes lässt sich dahingehend verallgemeinern, dass die Differenzfunktion ${\displaystyle \chi \!\,}$ noch konstant in ${\displaystyle U\!\,}$, aber nicht mehr gleich null ist. Für die elektrische Feldstärke, die durch Ableitungen aus dem Potential gewonnen wird, spielt die Konstante keine Rolle; die elektrische Feldstärke ist also auch ohne Erdung abgeschirmt.

Symmetrie der greenschen Funktion

Die greensche Funktion mit Dirichlet-Randbedingung und mit vektoriellem Parameter ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}\in U}$ ist definiert durch

${\displaystyle {\begin{array}{cl}\nabla ^{2}G_{D}({\vec {r}},{\vec {r}}_{1})=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1})&{\vec {r}}\in U\\G_{D}({\vec {r}},{\vec {r}}_{1})=0&{\vec {r}}\in \partial U\end{array}}}$

Bis auf einen Faktor ${\displaystyle -4\pi }$ entspricht das der Poissongleichung für ein Potential ${\displaystyle \phi ({\vec {r}})}$, das von einer Punktladung am Ort ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ erzeugt wird, und das auf der geerdeten Oberfläche ${\displaystyle \partial U}$ den Randwert 0 hat. Die Existenz einer solchen Funktion ist physikalisch klar, und wegen des Eindeutigkeitssatzes ist sie eindeutig bestimmt. Obwohl die Rollen von ${\displaystyle {\vec {r}}}$ (Messpunkt) und ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ (Position der Ladung) physikalisch verschieden sind, besteht mathematisch eine Symmetrie:

${\displaystyle G_{D}({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})=G_{D}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})}$

Beweis: Setzt man in der zweiten greenschen Formel

${\displaystyle \phi ({\vec {r}})=G_{D}({\vec {r}},{\vec {r}}_{1})\qquad \psi ({\vec {r}})=G_{D}({\vec {r}},{\vec {r}}_{2})}$

so erhält man auf der linken Seite Integrale mit Delta-Funktionen, die ${\displaystyle G_{D}({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})-G_{D}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})}$ ergeben. Auf der rechten Seite verschwinden die Integranden wegen der Randwerte von ${\displaystyle G_{D}}$.

Potential ausgedrückt durch Ladungsdichte und Randwerte

Verwendet man in der zweiten greenschen Formel als Integrationsvariable ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ und lässt man ${\displaystyle \phi \!\,}$ das elektrostatische Potential sein, so erhält man mit ${\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1})=G_{D}({\vec {r}},{\vec {r}}_{1})}$ und mit Hilfe der Symmetrie von ${\displaystyle G_{D}}$ den expliziten Ausdruck

${\displaystyle \phi ({\vec {r}})=-4\pi \int _{U}G_{D}({\vec {r}},{\vec {r}}_{1})\rho ({\vec {r}}_{1})dU_{1}+\int _{\partial U}\phi ({\vec {r}}_{1}){\frac {\partial G_{D}({\vec {r}},{\vec {r}}_{1})}{\partial n_{1}}}dS_{1}}$

Integralgleichung für das Potential

Unter Anwendung der oben gezeigten greenschen Formeln lassen sich Ausdrücke für das elektrostatische Potential einer Ladungsverteilung herleiten. Dabei sei ${\displaystyle \rho ({\vec {r}}\,')}$ die Ladungsdichte am Ort ${\displaystyle {\vec {r}}\,'}$. Mit ${\displaystyle \phi ({\vec {r}})}$ werde das Potenzial am Ort ${\displaystyle {\vec {r}}}$ bezeichnet. Gesucht ist die Funktion ${\displaystyle \phi }$.

Wir setzen für ${\displaystyle \psi ({\vec {r}}\,')={\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}}$. Es gilt dann:

1. ${\displaystyle \Delta '\psi ({\vec {r}}\,')=\Delta '{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}=-4\pi \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}\,')}$,

   • wobei ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ der Laplace-Operator ist,
   • der Strich anzeigt, dass dieser Operator auf die gestrichene Variable wirkt
   • und ${\displaystyle \delta }$ die Delta-Distribution ist.

   Diese Identität ist also im Sinne von distributionellen Ableitungen zu verstehen.

2. ${\displaystyle \Delta '\phi ({\vec {r}}\,')=-4\pi \rho ({\vec {r}}\,')}$ mit der Ladungsverteilung ${\displaystyle \rho }$ am Ort ${\displaystyle {\vec {r}}\,'}$.

Setzen wir beides in die zweite greensche Identität ein, erhalten wir auf der linken Seite:

${\displaystyle \int \limits _{V}(\phi ({\vec {r}}\,')(-4\pi \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}\,'))-{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}(-4\pi \rho ({\vec {r}}\,')))\,\mathrm {d} V'=-4\pi \int \limits _{V}\phi ({\vec {r}}\,')\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}\,')\,\mathrm {d} V'+4\pi \int \limits _{V}{\frac {\rho ({\vec {r}}\,')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}\,\mathrm {d} V'}$.

Die rechte Seite der Identität ist:

${\displaystyle \int \limits _{F}\left(\phi ({\vec {r}}\,'){\frac {\partial }{\partial n'}}{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}-{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}{\frac {\partial }{\partial n'}}\phi ({\vec {r}}\,')\right)\mathrm {d} F'}$.

Als Identität geschrieben:

${\displaystyle -4\pi \int \limits _{V}\phi ({\vec {r}}\,')\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}\,')\,\mathrm {d} V'+4\pi \int \limits _{V}{\frac {\rho ({\vec {r}}\,')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}\,\mathrm {d} V'=\int \limits _{F}\left(\phi ({\vec {r}}\,'){\frac {\partial }{\partial n'}}{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}-{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}{\frac {\partial }{\partial n'}}\phi ({\vec {r}}\,')\right)\mathrm {d} F'}$.

Innerhalb des Volumens gilt an der Stelle ${\displaystyle {\vec {r}}}$ wegen der ${\displaystyle \delta }$-Funktion

${\displaystyle -4\pi \int \limits _{V}\phi ({\vec {r}}\,')\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}\,')\mathrm {d} V'=-4\pi \phi ({\vec {r}})}$

Damit können wir schließlich obige Identität nach dem Potential auflösen und erhalten:

${\displaystyle \phi ({\vec {r}})=\int \limits _{V}{\frac {\rho ({\vec {r}}\,')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{F}\left(\phi ({\vec {r}}\,'){\frac {\partial }{\partial n'}}{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}-{\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}{\frac {\partial }{\partial n'}}\phi ({\vec {r}}\,')\right)\mathrm {d} F'}$.