Aussage

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ein Messraum und ${\displaystyle \mu }$ ein signiertes Maß auf diesem Messraum.

Dann existiert eine Partition der Grundmenge ${\displaystyle X}$ in eine Positive Menge ${\displaystyle P}$ und eine Negative Menge ${\displaystyle N}$, also ${\displaystyle X=P\cup N}$ und ${\displaystyle P\cap N=\emptyset }$.

Bemerkung

Die Zerlegung des Grundraumes ist bis auf eine ${\displaystyle \mu }$-Nullmenge eindeutig. Ist also ${\displaystyle P^{*},N^{*}}$ eine weitere Hahn-Zerlegung, so ist ${\displaystyle P\triangle P^{*}=N\triangle N^{*}}$ und ${\displaystyle \mu (P\triangle P^{*})=\mu (N\triangle N^{*})=0}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \triangle }$ die symmetrische Differenz.

Definition

Ist ${\displaystyle \mu }$ ein signiertes Maß mit Hahn-Zerlegung ${\displaystyle N,P}$, so heißt

${\displaystyle \mu ^{+}(A):=\mu (A\cap P)}$

die positive Variation von ${\displaystyle \mu }$,

${\displaystyle \mu ^{-}(A):=-\mu (A\cap N)}$

die negative Variation von ${\displaystyle \mu }$ und

${\displaystyle |\mu |(A):=\mu ^{+}(A)+\mu ^{-}(A)}$

die Variation von ${\displaystyle \mu }$.

Bemerkungen

• Da die Hahn-Zerlegung bis auf Nullstellen eindeutig ist, hängen die obigen Definitionen nicht von der Wahl der Zerlegung ab.
• Die Kennzahl ${\displaystyle |\mu |(X)}$ heißt auch die Totalvariationsnorm eines signierten Maßes.
• Die positive Variation und die negative Variation sind singulär zueinander.