In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, gibt die nach Ernst Heintze und Hermann Karcher benannte Heintze-Karcher-Ungleichung eine Abschätzung für das Volumen eines Gebietes in Abhängigkeit von der mittleren Krümmung des Randes und der Ricci-Krümmung der umgebenden Mannigfaltigkeit.

Sei ${\displaystyle M}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer Ricci-Krümmung ${\displaystyle Ric\geq 0}$, und sei ${\displaystyle \Omega \subset M}$ eine zusammenhängende Teilmenge mit zweimal stetig differenzierbarem Rand ${\displaystyle \partial \Omega }$ von positiver mittlerer Krümmung ${\displaystyle H>0}$. Dann gilt für das Volumen von ${\displaystyle \Omega }$ die Ungleichung

${\displaystyle Vol(\Omega )\leq {\frac {n-1}{n}}\int _{\partial \Omega }{\frac {1}{H}}dvol}$

und Gleichheit gilt nur, wenn ${\displaystyle \Omega }$ isometrisch zu einer Vollkugel im euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist.

Literatur

• E. Heintze, H. Karcher: A general comparison theorem with applications to volume estimates for submanifolds. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 11, No. 4, 451–470 (1978).