In der Mathematik sind Herman-Ringe (auch Arnold-Herman-Ringe) ein Begriff aus der Theorie komplexer dynamischer Systeme. Es handelt sich um ringförmige Komponenten der Fatou-Menge, auf denen die Dynamik zu einer irrationalen Drehung konjugiert ist.

Definition

Sei ${\displaystyle f\colon S\to S}$ eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen.

Eine Zusammenhangskomponente ${\displaystyle U}$ der Fatou-Menge ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)}$ heißt Herman-Ring, wenn es eine biholomorphe Abbildung

${\displaystyle \phi \colon U\to R}$

auf ein Ringgebiet

${\displaystyle R=\left\{z\in \mathbb {C} \colon r<\vert z\vert <1\right\}}$

mit ${\displaystyle r>0}$ gibt, so dass ${\displaystyle \phi f\phi ^{-1}}$ eine irrationale Drehung, also

${\displaystyle \phi f\phi ^{-1}(z)=e^{2\pi i\alpha }z}$

für ein ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ist.

Geschichte

Nach Fatous Klassifikation invarianter Komponenten der Fatou-Menge für die Iteration einer rationalen Funktion ${\displaystyle f}$ müssen diese entweder Attraktionsgebiete, parabolische Gebiete oder Rotationsgebiete sein. Rotationsgebiete sind mit heutigen Bezeichnungen entweder Siegel-Scheiben oder Herman-Ringe. Die Existenz von Siegel-Scheiben wurde 1942 von Siegel bewiesen, während die Existenz von Herman-Ringen lange offen war und erst 1979 von Herman (mit Hilfe eines Satzes von Arnold über die Lösbarkeit einer gewissen Funktionalgleichung) bewiesen wurde.

Literatur

• Michael Herman: Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, Publications Mathématiques de l’IHÉS 49, 5–233 (1979)

Weblinks

• Arnold-Herman-Ring (Lexikon der Mathematik)