Hexagonales Achsensystem in der Kristallographie

Wie in allen wirteligen Kristallsystemen wird die Drehachse mit der höchsten Zähligkeit in die Richtung der c-Gitterachse gelegt. Die Ebene senkrecht dazu wird durch zwei gleich lange Achsen a₁ und a₂ beschrieben, die im Winkel von 120° zueinander stehen. Daraus ergibt sich folgende Metrik: ${\displaystyle a=b\neq c}$ und ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\,\gamma =120^{\circ }.}$ Die durch diese Basisvektoren gebildete Elementarzelle ist in Bild 1 dargestellt. Sie hat ein Volumen von ${\displaystyle V=a^{2}c\sin 60^{\circ }={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}a^{2}c.}$

Hexagonales Achsensystem in anderen Fachrichtungen

In der Mineralogie und besonders in der Metallkunde ist es üblich, noch eine zusätzliche Achse a₃ in der (a₁, a₂) Ebene zu verwenden (vgl. Bild 3). Diese hat dieselbe Länge wie a₁ und steht im Winkel zu 120° sowohl zu a₁ als auch zu a₂. Die Millerschen Indizes werden um den Index i zu so genannten Miller-Bravais-Indizes erweitert und haben dann vier Komponenten: (h, k, i, l). Dabei ist der Index i redundant, da gilt: i =  -(h+k). Ähnlich werden in der Metallkunde auch Richtungen durch viergliedrige Symbole [uvtw], die Weber-Indizes, dargestellt.

Oft wird in der Literatur die hexagonale Zelle als sechseckiges Prisma dargestellt (siehe Bild 2). Da dieses Prisma kein Parallelepiped ist, handelt es sich aber nicht um eine Elementarzelle. Dieses Prisma besteht aus drei hexagonalen Elementarzellen (vergleiche Bild 3).

Die a₁-a₂-Ebene

Bild 3 stellt die a₁-a₂-Ebene des hexagonalen Achsensystems dar. Im Einzelnen:

• Punkte: Gitterpunkte des hexagonalen Achsensystems in der a₁-a₂-Ebene zum Teil mit Koordinaten x,y,0.
• Graue Punkte: Punkte mit einem Index ± 2.
• Fette Linien: die Grundfläche der hexagonalen Elementarzelle.
• Schwarze Linien: die Grundfläche des sechseckigen Prismas, das oft zur Veranschaulichung des hexagonalen Gittersystems verwendet wird.
• Rote Pfeile: die Gittervektoren des hexagonalen Gitters, dünn: die in der Mineralogie übliche 3. a-Achse.
• Blaue Pfeile: Blickrichtung des 3. Raumgruppensymbols nach Hermann-Mauguin entsprechend den International Tables for Crystallography 3. Auflage.
• Grün: Grundfläche der orthohexagonalen Zelle (Siehe unten).
• Grüne Pfeile: Gittervektoren der orthohexagonalen Zelle. (Der 3. Gittervektor ist der hexagonale c-Vektor)

Rhomboedrische Zentrierung

Bei der Betrachtung möglicher Zentrierungen kommt es in diesem Achsensystem zu einer Besonderheit. Fügt man zusätzliche Gitterpunkte so ein, dass die volle Symmetrie des hexagonalen Gitters erhalten bleibt, so ergeben sich nur Punktgitter, die auch durch ein primitives hexagonales Gitter (mit anderen Gitterkonstanten) beschrieben werden können.

Fügt man aber zusätzliche Gitterpunkte an den Stellen ${\displaystyle ({\tfrac {2}{3}},\,{\tfrac {1}{3}},\,{\tfrac {1}{3}})}$ und ${\displaystyle ({\tfrac {1}{3}},\,{\tfrac {2}{3}},\,{\tfrac {2}{3}})}$ beziehungsweise ${\displaystyle ({\tfrac {1}{3}},\,{\tfrac {2}{3}},\,{\tfrac {1}{3}})}$ und ${\displaystyle ({\tfrac {2}{3}},\,{\tfrac {1}{3}},\,{\tfrac {2}{3}})}$ ein, so ergibt sich ein neues Gitter, das aber nicht mehr die volle Symmetrie des hexagonalen Punktgitters, sondern die niedrigere Symmetrie ${\displaystyle {\bar {3}}m}$ hat.

Dieses Gittersystem kann auch mit einer primitiven Elementarzelle beschrieben werden. Für die Metrik dieser Zelle gilt: ${\displaystyle a=b=c}$ und ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma \neq 90^{\circ }}$. Diese Elementarzelle hat die Form eines Rhomboeders, eines entlang seiner Raumdiagonalen verzerrten Würfels. Diese Elementarzelle ist zwar primitiv, aber nicht konventionell, da die dreizählige Achse nicht in Richtung eines Gittervektors, sondern in Richtung der Raumdiagonalen liegt. Dieses Gittersystem wird rhomboedrisch genannt, hat die Holoedrie ${\displaystyle {\bar {3}}m}$ und wird unabhängig von der Aufstellung (hexagonale oder rhomboedrische Achsen) als R-Gitter bezeichnet.

Die Lage der rhomboedrischen zu den hexagonalen Achsen hängt davon ab, welche der beiden Möglichkeiten zur Zentrierung der hexagonalen Zelle verwendet wurde. Im ersten Fall heißt die Aufstellung der Achsen obvers, im zweiten Fall revers. In der ersten Ausgabe der International Tables von 1935 wurde die reverse Aufstellung verwendet, in den darauffolgenden die obverse. Der Unterschied zwischen beiden Aufstellungen besteht in einer Drehung der hexagonalen zu den rhomboedrischen Achsen um 60°, 180° oder 300°.

Da dieses Gittersystem nicht die volle Symmetrie des hexagonalen hat, kommt es nicht in allen Punktgruppen der hexagonalen Kristallfamilie vor.

Verwendung im trigonalen und hexagonalen Kristallsystem

Das hexagonale Achsensystem wird zur Beschreibung aller Punktgruppen der hexagonalen Kristallfamilie eingesetzt. Punktgruppen deren Raumgruppen ausschließlich mit dem primitiv hexagonalen Gitter beschrieben werden können, bilden das hexagonale Kristallsystem. Alle Punktgruppen, in denen auch das rhomboedrisch zentrierte Gitter vorkommt, bilden das trigonale Kristallsystem. Auch in diesem System werden alle nicht zentrischen Raumgruppen mit dem hexagonalen Achsensystem beschrieben. Eine Beschreibung dieser Raumgruppen mit dem rhomboedrischen Gittersystem ist nicht möglich, auch wenn sie zur Holoedrie des rhomboedrischen Gittersystems gezählt werden. Nur bei den zentrischen Raumgruppen (Symbol R) hat man die Auswahl zwischen dem hexagonalen und dem rhomboedrischen Achsensystem.

Rhomboedrische oder hexagonale Achsen

Im Gegensatz zur rhomboedrischen Zelle ist die hexagonale Zelle eine konventionelle Zelle, daher wird in der Regel das hexagonale Achsensystem verwendet. Bei den Strukturdaten der Minerale spielt das rhomboedrische System nur eine untergeordnete Rolle.

Das Rhomboeder ist ein in Richtung der Raumdiagonalen verzerrter Würfel. Daher ist der Einsatz dieser Aufstellung in den Fällen angebracht, in denen eine kubische und eine rhomboedrische Struktur miteinander verglichen werden, da man hierbei das Achsensystem nicht ändern muss.

Orthohexagonales System

Da das hexagonale Achsensystem kein orthogonales System ist, ist seine Metrik komplizierter. Einer der Ansätze damit umzugehen ist die Beschreibung durch ein orthorhombisches Gittersystem, das sogenannte orthohexagonale System. Es handelt sich dabei um eine orthorhombisch C-zentrierte Zelle. Die Grundfläche dieses Systems ist ein Rechteck mit dem Seitenlängenverhältnis b:a von ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1{,}732}$. Sie ist in Bild 3 grün eingezeichnet. Die dritte Achse entspricht der hexagonalen c-Achse.

Der Vorteil dieser Aufstellung ist die einfachere Metrik, der Nachteil ist der Verlust einer expliziten drei- bzw. sechszähligen Achse.

Historische Anmerkungen

Die Einteilung der Kristalle in Kristallsysteme beruhte ursprünglich auf der Morphologie. Im trigonalen bzw. hexagonalen System wurden alle die Kristalle zusammengefasst, deren Kristallform auf das Vorhandensein einer drei- bzw. sechszähligen Drehachse schließen lässt. Da aber die sechszählige Drehinversionsachse eine dreizählige Kristallform bewirkt, wurden die Punktgruppen ${\displaystyle {\bar {6}}}$ (trigonal-dipyramidal) und ${\displaystyle {\bar {6}}m2}$ (ditrigonal-dipyramidal) anfangs zum trigonalen Kristallsystem gezählt, wie man an den Bezeichnungen für die Kristallformen heute noch sieht.