In der Mathematik sind Hilbert-Moduln eine Verallgemeinerung von Gruppenringen. Eine weitere Verallgemeinerung sind Hilbert-C*-Moduln.

Definitionen

Für eine abzählbare Gruppe ${\displaystyle G}$ mit Gruppenring ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ bezeichnet ${\displaystyle l^{2}G}$ die Vervollständigung von ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ bzgl. des Skalarprodukts

${\displaystyle \langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\rangle =\sum _{g\in G}{\overline {a_{g}}}b_{g}}$.

${\displaystyle l^{2}G}$ ist ein Hilbert-Raum mit einer ${\displaystyle G}$-Wirkung.

Ein Hilbert-${\displaystyle G}$-Modul ist ein komplexer Hilbert-Raum ${\displaystyle V}$ mit einer ${\displaystyle C}$-linearen isometrischen ${\displaystyle G}$-äquivarianten Einbettung

${\displaystyle V\to (l^{2}G)^{n}}$

für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Ein Morphismus von Hilbert-${\displaystyle G}$-Moduln ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ist eine ${\displaystyle G}$-äquivariante beschränkte ${\displaystyle \mathbb {C} }$-lineare Abbildung.

Literatur

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).