Hodge-Stern-Operator auf Vektorräumen

Sei ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler orientierter Vektorraum mit Skalarprodukt und ${\displaystyle V^{*}}$ sein Dualraum. Für ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ bezeichnet ${\displaystyle \Lambda ^{k}(V^{*})}$ die ${\displaystyle k}$-te äußere Potenz von ${\displaystyle V^{*}}$, den Vektorraum der alternierenden Multilinearformen der Stufe ${\displaystyle k}$ über ${\displaystyle V}$.

Der Hodge-Stern-Operator

${\displaystyle \ast \colon \Lambda ^{k}(V^{*})\rightarrow \Lambda ^{n-k}(V^{*})}$

wird durch die folgende Bedingung eindeutig festgelegt: Ist ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$ die dazu duale Basis von ${\displaystyle V^{*}}$, so ist

${\displaystyle *(e^{1}\wedge e^{2}\wedge \dots \wedge e^{k})=e^{k+1}\wedge e^{k+2}\wedge \dots \wedge e^{n}}$

Es genügt nicht, diese Bedingung für eine einzige Orthonormalbasis zu fordern. Man braucht sie aber auch nicht für jede positiv orientierte Orthonormalbasis zu fordern. Es genügt, alle geraden Permutationen einer einzelnen Basis zu betrachten: Ist ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ eine positiv orientierte Orthonormalbasis von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$ die dazu duale Basis von ${\displaystyle V^{*}}$, so wird der Hodge-Stern-Operator eindeutig bestimmt durch die Bedingung

${\displaystyle \ast (e^{\sigma (1)}\wedge e^{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge e^{\sigma (k)})=e^{\sigma (k+1)}\wedge e^{\sigma (k+2)}\wedge \cdots \wedge e^{\sigma (n)}}$

für jede gerade Permutation ${\displaystyle \sigma }$ von ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$.

Für eine Orthogonalbasis, die keine Orthonormalbasis sein muss, gilt allgemeiner

${\displaystyle \ast (e_{\sigma (1)}\wedge \ldots \wedge e_{\sigma (k)})=g_{\sigma (1)\sigma (1)}\ldots g_{\sigma (k)\sigma (k)}{\frac {s(B)}{\sqrt {|\det g|}}}\,\mathrm {sgn} (\sigma )\,e_{\sigma (k+1)}\wedge \ldots \wedge e_{\sigma (n)}}$

und

${\displaystyle \ast (e^{\sigma (1)}\wedge \ldots \wedge e^{\sigma (k)})=g^{\sigma (1)\sigma (1)}\ldots g^{\sigma (k)\sigma (k)}s(B){\sqrt {|\det g|}}\,\mathrm {sgn} (\sigma )\,e^{\sigma (k+1)}\wedge \ldots \wedge e^{\sigma (n)}}$.

Dabei ist ${\displaystyle s(B)=1}$, wenn ${\displaystyle B}$ positiv orientiert ist und ${\displaystyle s(B)=-1}$, wenn ${\displaystyle B}$ negativ orientiert ist. Die Formel gilt insbesondere für leere Produkte, für eine Orthonormalbasis ist also

${\displaystyle \ast 1=s(B)\,e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}}$,

${\displaystyle \ast (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=s(B)}$.

Globaler Hodge-Stern-Operator

Nach dieser Vorarbeit kann man den Hodge-Stern-Operator auf die äußere Algebra des Kotangentialbündels ${\displaystyle \textstyle T^{*}M=\bigsqcup _{p\in M}T_{p}^{*}M}$ übertragen. Wie in der Motivation sei ${\displaystyle M}$ wieder eine orientierbare, glatte riemannsche Mannigfaltigkeit. Außerdem definiere ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(M)}$ als den Raum der Schnitte im Vektorbündel ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T^{*}M)}$. Der Raum ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(M)}$ ist also der Raum der Differentialformen ${\displaystyle k}$-ten Grades auf ${\displaystyle M}$. Da ${\displaystyle T^{*}M}$ ein Vektorbündel ist und somit in jedem Punkt ${\displaystyle p\in M}$ ein Vektorraum ist, wird der Hodge-Stern-Operator punktweise definiert.

Der Hodge-Stern-Operator ist ein Isomorphismus

${\displaystyle {\begin{aligned}\ast$ :{\mathcal {A}}^{k}(M)&\to {\mathcal {A}}^{n-k}(M)\\\omega &\mapsto \ast \omega ,\end{aligned}}}

so dass für jeden Punkt ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle \omega |_{p}\mapsto \ast \omega |_{p}}$

gilt. Die Differentialform ${\displaystyle \omega }$, ausgewertet an der Stelle ${\displaystyle p}$, ist wieder ein Element eines Vektorraums, und damit greift obige Definition für Vektorräume. In dieser Definition wurde impliziert, dass die Form ${\displaystyle \ast \omega }$ wieder eine glatte Differentialform ist. Dies jedoch ist nicht klar und bedarf eines Beweises.