In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine Hyperkählermannigfaltigkeit eine -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren Holonomiegruppe eine Untergruppe der kompakten symplektischen Gruppe ist. Äquivalent hat sie drei Kähler-Strukturen , die den von den Quaternionen bekannten Relationen genügen.
Hyperkählermannigfaltigkeiten haben verschwindende Ricci-Krümmung und sind insbesondere Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.
Beispiele
- Die komplex 2-dimensionalen Hyperkählermannigfaltigkeiten sind die K3-Flächen und die komplexen Tori .
- Hilbert-Schemata von Punkten auf K3-Flächen sind Hyperkählermannigfaltigkeiten.
- Verallgemeinerte Kummer-Flächen sind Hyperkählermannigfaltigkeiten.
- Wenn eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit holomorph symplektisch ist, dann ist sie eine Hyperkählermannigfaltigkeit.
Literatur
- N. Hitchin: Hyperkähler manifolds. Séminaire N. Bourbaki 34, S. 137–166
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