Begrenzende Elemente

Jedes ${\displaystyle n}$-dimensionale Hyperrechteck mit ${\displaystyle n\geq 2}$ hat

• ${\displaystyle 2^{n}}$ Ecken,
• ${\displaystyle n2^{n-1}}$ Kanten, die rechtwinklig aufeinanderstoßen, und
• ${\displaystyle 2n}$ Seitenflächen, die ihrerseits Hyperrechtecke der Dimension ${\displaystyle n-1}$ sind.

Allgemein wird ein ${\displaystyle n}$-dimensionales Hyperrechteck von

${\displaystyle {\binom {n}{k}}\cdot 2^{n-k}}$

Hyperrechtecken der Dimension ${\displaystyle k}$ begrenzt, wobei ${\displaystyle k\in \{0,\dotsc ,n-1\}}$ ist.

Volumen und Oberfläche

Das Volumen eines Hyperrechtecks ${\displaystyle R}$ beträgt

${\displaystyle \operatorname {vol} (R)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\dotsm (b_{n}-a_{n})}$.

Das ist der Ausgangspunkt für die Volumenbestimmung sehr viel allgemeinerer Mengen, wie in der Konstruktion des ${\displaystyle n}$-dimensionalen Lebesguemaßes in der Maßtheorie deutlich wird.

Der Oberflächeninhalt beträgt

${\displaystyle \operatorname {vol} (\partial R)=2\sum _{j=1}^{n}\prod _{i=1 \atop i\neq j}^{n}(b_{i}-a_{i})}$.