Definition

Ist ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ ein Ring, dann ist ein (dedekindsches) Ideal oder ${\displaystyle d}$-Ideal die Trägermenge ${\displaystyle A_{d}\subseteq R}$ einer Untergruppe von ${\displaystyle (R,+)}$, für die gilt:

${\displaystyle \forall r\in R\;\forall a\in A_{d}:}$

${\displaystyle r\cdot a\in A_{d}.}$

Eigenschaften

• Die Ideale eines Rings sind genau die Kerne der Ringhomomorphismen des Ringes.
• Die Ideale eines Rings bilden jeweils ein Hüllensystem, so dass die Ideale durch den zugehörigen Hüllenoperator ${\displaystyle (\;)_{d}}$ gegeben sind.

Bemerkungen

• Es entstanden weitere Idealbegriffe für Ringe, aber auch für andere algebraische Strukturen wie Verbände, Halbgruppen, Halbringe usw., die (mindestens) eine assoziative zweistellige Operation besitzen.
• Es gibt auch Ideale bei algebraischen Strukturen mit nicht assoziativen zweistelligen Operationen, beispielsweise Lie-Algebren.
• Der Begriff des Verbandsideals wurde auch für beliebige halbgeordnete Mengen zum Ordnungsideal verallgemeinert.
• In der Regel lässt man den Index weg, wenn klar ist, um welchen Hüllenoperator es sich handelt.

Definition

Es soll nun

${\displaystyle (\;)_{x^{*}}:{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(S),A\mapsto (A)_{x^{*}},}$

ein Hüllenoperator auf ${\displaystyle S}$ sein, mit der Eigenschaft, dass

${\displaystyle \forall A\in {\mathfrak {P}}(S):}$

${\displaystyle S\cdot (A)_{x^{*}}\subseteq (A)_{x^{*}}.}$

${\displaystyle (\;)_{x^{*}}}$ wird dann ein ${\displaystyle x^{*}}$-Idealoperator oder kurz ${\displaystyle x^{*}}$-Operator auf ${\displaystyle (S,\cdot )}$ genannt, ${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{x^{*}}:=\{(A)_{x^{*}}\mid A\in {\mathfrak {P}}(S)\}}$ ist das ${\displaystyle x^{*}}$-Idealsystem bzw. ${\displaystyle x^{*}}$-System zu ${\displaystyle (\;)_{x^{*}}}$, ein ${\displaystyle A_{x^{*}}\in {\mathfrak {I}}_{x^{*}}}$ heißt ${\displaystyle x^{*}}$-Ideal und ${\displaystyle (A)_{x^{*}}}$ ist das von ${\displaystyle A\in {\mathfrak {P}}(S)}$ erzeugte ${\displaystyle x^{*}}$-Ideal. ${\displaystyle (a_{1},\cdots ,a_{n})_{x^{*}}:=(\{a_{1},\cdots ,a_{n}\})_{x^{*}}}$ bezeichnet das von ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}\in S,n\in \mathbb {N} ,}$ erzeugte ${\displaystyle x^{*}}$-Ideal und ${\displaystyle (a)_{x^{*}}}$ ist das von ${\displaystyle a\in S}$ erzeugte ${\displaystyle x^{*}}$-Hauptideal.

Bemerkung

• ${\displaystyle \emptyset }$ ist gewöhnlich kein Ideal, weil es aber für die Idealarithmetik von Vorteil ist, soll hier auch ${\displaystyle (\emptyset )_{x^{*}}=\bigcap {\mathfrak {I}}_{x^{*}}}$ ein unechtes ${\displaystyle x^{*}}$-Hauptideal sein, falls ${\displaystyle (\emptyset )_{x^{*}}=\emptyset }$.
• Zur Unterscheidung von Idealen und beliebigen Teilmengen von ${\displaystyle S}$ werden im Folgenden die Ideale, im Gegensatz zu beliebigen Teilmengen, mit einem entsprechenden Index versehen.

Idealverbände

Auf ${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{x^{*}}}$ sind zwei zweistellige Operationen

${\displaystyle \vee _{x^{*}}:{\mathfrak {I}}_{x^{*}}\times {\mathfrak {I}}_{x^{*}}\to {\mathfrak {I}}_{x^{*}},(A_{x^{*}},B_{x^{*}})\mapsto A_{x^{*}}\vee _{x^{*}}B_{x^{*}}:=(A_{x^{*}}\cup B_{x^{*}})_{x^{*}},}$

${\displaystyle \wedge _{x^{*}}:{\mathfrak {I}}_{x^{*}}\times {\mathfrak {I}}_{x^{*}}\to {\mathfrak {I}}_{x^{*}},(A_{x^{*}},B_{x^{*}})\mapsto A_{x^{*}}\wedge _{x^{*}}B_{x^{*}}:=(A_{x^{*}}\cap B_{x^{*}})_{x^{*}},}$

gegeben, so dass ${\displaystyle ({\mathfrak {I}}_{x^{*}},\vee _{x^{*}},\wedge _{x^{*}})}$ einen vollständigen Verband bildet, den Verband der ${\displaystyle x^{*}}$-Ideale von ${\displaystyle (S,\cdot )}$. Dabei ist ${\displaystyle \vee _{x^{*}}}$ die ${\displaystyle x^{*}}$-Idealverbindung, ${\displaystyle \wedge _{x^{*}}}$ der ${\displaystyle x^{*}}$-Idealdurchschnitt.

Wie für alle Hüllensysteme gilt auch für jedes ${\displaystyle x^{*}}$-Idealsystem:

${\displaystyle \forall A,B\in {\mathfrak {P}}(S):}$

${\displaystyle A_{x^{*}}\wedge _{x^{*}}B_{x^{*}}=A_{x^{*}}\cap B_{x^{*}}.}$

Algebraische Idealoperatoren

${\displaystyle ({\mathfrak {I}}_{x^{*}},\vee _{x^{*}},\wedge _{x^{*}})}$ ist genau dann algebraisch, wenn ${\displaystyle (\;)_{x^{*}}}$ algebraisch ist, also

${\displaystyle \forall a\in S\;\forall A\in {\mathfrak {P}}(S):}$

${\displaystyle A\neq \emptyset }$ und ${\displaystyle a\in (A)_{x^{*}}\implies \exists a_{1},\cdots ,a_{n}\in A;n\in \mathbb {N} :a\in (a_{1},\cdots ,a_{n})_{x^{*}}.}$

Bezeichnet ${\displaystyle |A|}$ die Mächtigkeit der Menge ${\displaystyle A}$, so existiert mit

${\displaystyle (\;)_{x_{s}^{*}}:{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(S),A\mapsto (A)_{x_{s}^{*}}:=\bigcup \{(N)_{x^{*}}\mid N\subseteq A,|N|\in \mathbb {N} _{0}\},}$

immer ein algebraischer ${\displaystyle x^{*}}$-Idealoperator zu ${\displaystyle (\;)_{x^{*}}}$.

Definition

So genannte ${\displaystyle x}$-Idealoperatoren bzw. ${\displaystyle x}$-Operatoren ${\displaystyle (\;)_{x}}$ sind ${\displaystyle x^{*}}$-Idealoperatoren, bei denen Translationen

${\displaystyle \forall t\in S:}$

${\displaystyle \vartheta _{t}\colon S\to S,a\mapsto \vartheta _{t}(a):=a\cdot t,}$

„stetig“ sind wie bei topologischen Abschlussoperatoren:

${\displaystyle \forall t\in S\;\forall A\in {\mathfrak {P}}(S):}$

${\displaystyle \vartheta _{t}{\bigl (}(A)_{x}{\bigr )}\subseteq {\bigl (}\vartheta _{t}(A){\bigr )}_{x}}$

mit ${\displaystyle \vartheta _{t}(A):=\{\vartheta _{t}(a)\mid a\in A\}=A\cdot \{t\}}$ für jedes ${\displaystyle t\in S}$ und alle ${\displaystyle A\in {\mathfrak {P}}(S)}$.

Eigenschaften

• Mit jedem ${\displaystyle x}$-Idealoperator ${\displaystyle (\;)_{x}}$ ist auch ${\displaystyle (\;)_{x_{s}}}$ ein ${\displaystyle x}$-Idealoperator.
• Für jeden ${\displaystyle x}$-Idealoperator ${\displaystyle (\;)_{x}}$ auf ${\displaystyle (S,\cdot )}$ folgt sogar

${\displaystyle \forall A,B\in {\mathfrak {P}}(S):}$

${\displaystyle (A)_{x}\cdot B\subseteq (A\cdot B)_{x}.}$

• Die zweiseitigen ${\displaystyle x}$-Ideale einer Halbgruppe ${\displaystyle (S,\cdot )}$ sind genau die Kerne von bestimmten Halbgruppenhomomorphismen von ${\displaystyle (S,\cdot )}$, und es gilt

${\displaystyle \forall A,B\in {\mathfrak {P}}(S):}$

${\displaystyle (A)_{x}\cdot _{x}(B)_{x}=(A\cdot B)_{x}.}$

• Ein zweiseitiges ${\displaystyle x}$-Idealsystem bildet einen (kommutativen,) assoziativen, quasiganzen und vollständigen multiplikativen Verband ${\displaystyle ({\mathfrak {I}}_{x},\vee _{x},\wedge _{x},\cdot _{x})}$.
• Ebenso ist ${\displaystyle ({\mathfrak {I}}_{x_{s}},\vee _{x_{s}},\wedge _{x_{s}},\cdot _{x_{s}})}$ für zweiseitige ${\displaystyle x}$-Ideale ein solcher multiplikativer Verband, der zudem stets algebraisch ist.

Bemerkungen

• Ein beliebiger ${\displaystyle x^{*}}$-Idealoperator induziert stets einen ${\displaystyle x}$-Idealoperator, so dass auch ${\displaystyle x}$-Idealoperatoren sehr allgemeiner Natur sind.
• Ein anderer, abstrakter Ansatz für eine allgemeine Idealtheorie ist die Beschreibung von Idealsystemen durch entsprechende multiplikative Verbände.
• In der Regel können Begriffe aus der „klassischen“ Idealtheorie, wie Maximalideal, Primideal usw., problemlos für ${\displaystyle x}$-Ideale übernommen werden.

Definition

Ein ${\displaystyle r}$-Idealoperator ${\displaystyle (\;)_{r}}$ auf ${\displaystyle (S,\cdot )}$ ist ein ${\displaystyle x}$-Idealoperator, der zusätzlich translationsabgeschlossen ist, also

${\displaystyle \forall t\in S\;\forall A_{r}\in {\mathfrak {I}}_{r}:}$

${\displaystyle \vartheta _{t}(A_{r})\in {\mathfrak {I}}_{r},}$

und für den auch noch gilt:

${\displaystyle \forall a\in S:}$

${\displaystyle (a)_{r}=\{a\}\cup \vartheta _{a}(S).}$

Eigenschaften

• Für jeden translationsabgeschlossenen ${\displaystyle x}$-Idealoperator ${\displaystyle (\;)_{x}}$ auf ${\displaystyle (S,\cdot )}$ folgt sogar

${\displaystyle \forall t\in S\;\forall A\in {\mathfrak {P}}(S):}$

${\displaystyle \vartheta _{t}{\bigl (}(A)_{x}{\bigr )}={\bigl (}\vartheta _{t}(A){\bigr )}_{x}.}$

• Besitzt ${\displaystyle (S,\cdot )}$ ein Einselement 1, dann ist jeder translationsabgeschlossene ${\displaystyle x}$-Idealoperator ${\displaystyle (\;)_{x}}$ auf ${\displaystyle (S,\cdot )}$ bereits ein ${\displaystyle r}$-Idealoperator und

${\displaystyle \forall a\in S:}$

${\displaystyle \left(1\right)_{x}=S}$ und ${\displaystyle (a)_{x}=\vartheta _{a}(S)=S\cdot \{a\}.}$

• ${\displaystyle (\;)_{r_{s}}}$ ist ebenfalls ein ${\displaystyle r}$-Idealoperator.
• Jedes zweiseitige ${\displaystyle r}$-Hauptideal ist ein Multiplikationsideal, das heißt

${\displaystyle \forall a\in S\;\forall A_{r}\in {\mathfrak {I}}_{r}:}$

${\displaystyle A_{r}\subset (a)_{r}\iff \exists B_{r}\in {\mathfrak {I}}_{r}:B_{r}\cdot _{r}(a)_{r}=A_{r}\neq (a)_{r}.}$

• Ein zweiseitiges ${\displaystyle (a)_{r}}$ ist in ${\displaystyle ({\mathfrak {I}}_{r},\vee _{r},\wedge _{r},\cdot _{r})}$ kürzbar, also

${\displaystyle \forall a\in S\;\forall A_{r},B_{r}\in {\mathfrak {I}}_{r}:}$

${\displaystyle A_{r}\cdot _{r}(a)_{r}=B_{r}\cdot _{r}(a)_{r}\implies A_{r}=B_{r},}$

wenn ${\displaystyle a\in S}$ in ${\displaystyle (S,\cdot )}$ kürzbar ist.

Bemerkung

• ${\displaystyle r}$-Idealsysteme weisen alle wesentlichen Eigenschaften der ${\displaystyle d}$-Idealsysteme von Ringen auf, weshalb sie eine gute Untersuchung der Teilbarkeitsverhältnisse in ${\displaystyle (S,\cdot )}$ erlauben.