In der Mathematik sind irreduzible Gitter in der Theorie der Lie-Gruppen von Bedeutung.

Sei ${\displaystyle G}$ eine nichtkompakte, halbeinfache Lie-Gruppe und ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ein Gitter, d. h. eine diskrete Untergruppe, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens bzgl. des Haarmaßes gibt.

Wenn ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1}}$ und ${\displaystyle \Gamma _{2}\subset G_{2}}$ Gitter sind, dann ist ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}}$ ein Gitter in ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$. Solche Gitter heißen reduzibel.

Ein Gitter ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ heißt irreduzibel, wenn für jeden nichtkompakten, abgeschlossenen Normalteiler der Zusammenhangskomponente der Eins ${\displaystyle N\subset G_{0}}$ die Menge ${\displaystyle \Gamma N}$ dicht in ${\displaystyle G}$ ist.

In einer nicht-kompakten einfachen Lie-Gruppe ist jedes Gitter irreduzibel.

Beispiele irreduzibler Gitter in Gruppen der Form ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ sind die Hilbertschen Modulgruppen.

Wenn das Zentrum ${\displaystyle Z(G)=0}$ und die Projektion von ${\displaystyle \Gamma }$ im maximal kompakten Faktor dicht liegt, dann ist jedes Gitter kommensurabel zu einem Produkt irreduzibler Gitter.

Literatur

• D. Witte-Morris: Introduction to arithmetic groups. Deductive Press, 2015. ISBN 978-0-9865716-0-2