Testverteilung

Die Testverteilung ist die Verteilung der Zahl der Iterationen (Runs) bei Richtigkeit der Nullhypothese.

Bezüglich der Verteilung der Zahl der Runs unterscheidet man die Fälle:

1. Die Anzahl ${\displaystyle r}$ der Runs ist geradzahlig:

Es liegen ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}r}$ Runs der Kugeln der ersten Sorte und auch ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}r}$ Runs der Kugeln der zweiten Sorte vor. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau ${\displaystyle r=2q}$ Runs eingetreten sind, ist dann

${\displaystyle P(R=2q)={\frac {2{{n_{1}-1} \choose {q-1}}{{n_{2}-1} \choose {q-1}}}{{n_{1}+n_{2}} \choose n_{1}}}\;.}$

2. Die Anzahl ${\displaystyle r}$ der Runs ist ungeradzahlig:

Es liegen ${\displaystyle q+1={\tfrac {1}{2}}(r+1)}$ Runs der Kugeln der ersten Sorte und ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}(r-1)}$ Runs der Kugeln der zweiten Sorte vor oder der umgekehrte Fall. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau ${\displaystyle r=2q+1}$ Runs eingetreten sind, berechnet sich dann als Summe aus diesen beiden Möglichkeiten

${\displaystyle P(R=2q+1)={\frac {{n_{1}-1 \choose q}{n_{2}-1 \choose q-1}+{n_{1}-1 \choose q-1}{n_{2}-1 \choose q}}{n_{1}+n_{2} \choose n_{1}}}\;.}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {n \choose k}}$ den Binomialkoeffizienten. Zu berücksichtigen ist ${\displaystyle {n \choose k}=0}$, falls ${\displaystyle n<k}$.

Testdurchführung

Als Prüfgröße wird die Zufallsvariable ${\displaystyle R}$ verwendet. Die Testverteilung, d. h. die Verteilung der Prüfgröße bei Richtigkeit der Nullhypothese, wurde zuvor beschrieben. Die Nullhypothese wird bei zweiseitigem Testen dann abgelehnt, wenn die beobachtete Anzahl von Iterationen ${\displaystyle r}$ zu klein oder zu groß ist. Bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ wird die Nullhypothese dann abgelehnt, wenn

${\displaystyle r\leq r_{\alpha /2}}$ oder ${\displaystyle r\geq r_{1-\alpha /2}}$

gilt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle r_{p}}$ das ${\displaystyle p}$-Quantil der Testverteilung. Da diese Verteilung diskret ist, kann das vorgegebene Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ durch einen (nicht randomisierten) Test im Allgemeinen nicht exakt erreicht werden. Es werden daher die beiden kritischen Wert so gewählt, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art höchstens so groß wie das vorgegebene Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha }$ ist. Dieses Vorgehen wird auch als konservatives Testen bezeichnet. Da die Berechnung der kritischen Werte umständlich ist, bedient man sich häufig einer Tabelle.

Parameter der Verteilung von R

Der Erwartungswert von R ist

${\displaystyle \operatorname {E} (R)={\frac {2n_{1}n_{2}}{n}}+1}$

und die Varianz

${\displaystyle \operatorname {Var} (R)={\frac {2n_{1}n_{2}(2n_{1}n_{2}-n)}{n^{2}(n-1)}}}$.

Grundgesamtheit mit mehr als zwei Ausprägungen des Merkmals

Liegt eine endliche Folge reeller Zahlen ${\displaystyle (x_{i})}$ eines metrischen Merkmals vor, wird die Folge dichotomisiert: Man bestimmt zunächst den Median z der Folge. Werte ${\displaystyle x_{i}<z}$ werden dann als Kugeln der ersten Sorte, Werte ${\displaystyle x_{i}>z}$ als Kugeln der zweiten Sorte interpretiert. Die entstandene dichotome Folge kann dann wieder auf Zufälligkeit getestet werden (siehe Beispiel unten).

Liegt eine nichtnumerische Symbolsequenz mit mehr als zwei Ausprägungen vor, muss zunächst eine numerische Reihe erzeugt werden, wobei hier das Problem bestehen kann, dass die Symbole nicht geordnet werden können.

Normalapproximation

Für Stichprobenumfänge n₁,n₂ > 20 ist die Zahl der Runs R annähernd normalverteilt mit Erwartungswert und Varianz wie oben. Man erhält die standardisierte Prüfgröße

${\displaystyle z={\frac {r-({\frac {2n_{1}n_{2}}{n}}+1)}{\sqrt {\frac {2n_{1}n_{2}(2n_{1}n_{2}-n)}{n^{2}(n_{1}+n_{2}-1)}}}}}$

Die Hypothese wird abgelehnt, wenn

${\displaystyle z<-z(1-{\frac {\alpha }{2}})}$ oder ${\displaystyle z>z(1-{\frac {\alpha }{2}})}$

mit ${\displaystyle z(1-{\frac {\alpha }{2}})}$ als Quantil der Standardnormalverteilung für die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$ .

Beispiel für ein metrisches Merkmal

Es liegt die Folge

13	 3	14	14	1	14	3	8	14	17	9	14	13	2	16	1	3	12	13	14

vor. Sie wird mit dem Median z = 13 dichotomisiert. Für die erste Ausprägung wird + gesetzt, für die zweite Ausprägung -.

0	-10	1	1	-12	1	-10	-5	1	4	-4	1	0	-11	3	-12	-10	-1	0	1

+	-	+	+	-	+	-	-	+	+	-	+	+	-	+	-	-	-	+	+

Man erhält bei n₁ = 11 (+) und n₂ = 9 (-) r = 13 Runs. R ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert

${\displaystyle \operatorname {E} (R)={\frac {(2\cdot 11\cdot 9)}{20}}+1=10{,}9}$

und der Varianz

${\displaystyle \operatorname {Var} (R)={\frac {2\cdot 11\cdot 9\cdot (2\cdot 11\cdot 9-20)}{20^{2}\cdot 19}}=4{,}6}$.

Die Prüfgröße z errechnet sich dann als

${\displaystyle {\frac {13-10{,}9}{\sqrt {4{,}6}}}=1{,}82}$

Bei einem Signifikanzniveau von 0,05 wird H₀ abgelehnt, wenn |z| > 1,96. Dies ist nicht der Fall.

Entscheidung: Die Hypothese wird nicht abgelehnt. Die Elemente der Stichprobe sind vermutlich zufällig entnommen worden.

Da der Run-Test aber kein parametrischer Test ist, ist das Resultat mit Vorsicht zu genießen. Bei einem Konfidenzniveau von 90 % könnte z. B. die Nullhypothese abgelehnt werden. Der parametrische Shapiro-Wilk-Test zeigt nämlich, dass bei der vorliegenden Zahlenreihe die Normalverteilung nicht gegeben ist!