Definition

Der Durchschnitt aller maximalen ${\displaystyle R}$-Untermoduln von ${\displaystyle M}$ wird als (Jacobson-)Radikal ${\displaystyle \mathrm {Rad} _{R}(M)}$ (oder kurz ${\displaystyle \mathrm {Rad} (M)}$) bezeichnet.

Ist ${\displaystyle M}$ endlich erzeugt, so gilt: ${\displaystyle \mathrm {Rad} (M)=\{x\in M|x\ \mathrm {ist\ {\ddot {u}}berfl{\ddot {u}}ssig\ in} \ M\}}$. Dabei heißt ein Element ${\displaystyle x}$ von ${\displaystyle M}$ überflüssig, wenn für jeden Untermodul ${\displaystyle N\subset M}$ gilt: Aus ${\displaystyle M=N+Rx}$ folgt bereits ${\displaystyle M=N}$.

Eigenschaften

• Ist ${\displaystyle M}$ endlich erzeugt und ${\displaystyle N\subset M}$ ein Untermodul von ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle M=N+\mathrm {Rad} (M)}$, dann ist bereits ${\displaystyle M=N}$. Diese Eigenschaft wird auch als Lemma von Nakayama bezeichnet.
• Ist ${\displaystyle M}$ endlich erzeugt und ${\displaystyle M\not =0}$, dann ist ${\displaystyle \mathrm {Rad} (M)\not =M}$. (Dies ist der Spezialfall ${\displaystyle N=0}$ der vorigen Aussage.)
• ${\displaystyle \mathrm {Rad} (M)=0}$ gilt genau dann, wenn ${\displaystyle M}$ isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher ${\displaystyle R}$-Moduln ist.
• ${\displaystyle M}$ ist genau dann endlich erzeugt und halbeinfach, wenn ${\displaystyle M}$ artinsch und ${\displaystyle \mathrm {Rad} (M)=0}$ ist.

Definition

Das Jacobson-Radikal des Ringes ${\displaystyle R}$ wird als das Jacobson-Radikal des ${\displaystyle R}$-Linksmoduls ${\displaystyle R}$ definiert. Es wird als ${\displaystyle J(R)}$ notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:

• als Durchschnitt aller maximalen Linksideale / Rechtsideale
• als Durchschnitt aller Annullatoren einfacher Links-${\displaystyle R}$-Moduln / Rechts-${\displaystyle R}$-Moduln
• ${\displaystyle \{x\in R\mid \forall y\in R\colon 1-xy\in R^{\times }\}}$
• ${\displaystyle \{x\in R\mid \forall y,z\in R\colon 1-zxy\in R^{\times }\}}$
• ${\displaystyle \{x\in R\mid \forall z\in R\colon 1-zx\ \mathrm {ist\ linksinvertierbar} \}}$

Eigenschaften

• Der Ring ${\displaystyle R}$ ist genau dann halbeinfach, wenn er linksartinsch und ${\displaystyle J(R)=0}$ ist.
• Für jeden linksartinschen Ring ${\displaystyle R}$ ist der Ring ${\displaystyle R/J(R)}$ halbeinfach.
• Ist ${\displaystyle R}$ linksartinsch, dann gilt für jeden ${\displaystyle R}$-Linksmodul ${\displaystyle M}$: ${\displaystyle J(R)M=\mathrm {Rad} (M)}$.
• ${\displaystyle J(R)}$ ist das kleinste Ideal ${\displaystyle I}$ von ${\displaystyle R}$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle R/I}$ halbeinfach ist.
• Ist ${\displaystyle N}$ ein Nillinksideal von ${\displaystyle R}$, dann gilt: ${\displaystyle N\subseteq J(R)}$.
• Ist ${\displaystyle R}$ linksartinsch, dann ist ${\displaystyle J(R)}$ ein nilpotentes Ideal.
• Ist ${\displaystyle R}$ linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem Primradikal.
• Mit dem Zornschen Lemma folgt für jeden Ring ${\displaystyle R\neq \{0\}}$ die Existenz maximaler Ideale, für ${\displaystyle R\neq \{0\}}$ gilt also ${\displaystyle J(R)\neq R}$.

Beispiele

• Das Jacobson-Radikal eines Schiefkörpers ist ${\displaystyle \{0\}}$; ebenso das Jacobson-Radikal von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Das Jacobson-Radikal von ${\displaystyle \mathbb {Z} /24\mathbb {Z} }$ ist ${\displaystyle 6\mathbb {Z} /24\mathbb {Z} }$.
• Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen ${\displaystyle n\times n}$-Dreiecksmatrizen über einem Körper ${\displaystyle K}$ enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden.
• Das Jacobson-Radikal jedes lokalen Rings ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten.
• Das Jacobson-Radikal einer kommutativen Banachalgebra ist genau der Kern der Gelfand-Transformation.