Über den Gleichgewichtsdruck

Bei Gleichgewicht der Drücke im Zentrum der Wolke gilt:

${\displaystyle |p_{\mathrm {Gas} }|=|p_{\mathrm {grav} }|}$

Aus der idealen Gasgleichung

${\displaystyle pV=nkT\iff p={\frac {\rho }{\mu }}kT}$

und dem Gravitationsdruck im Zentrum einer Kugel folgt

${\displaystyle \implies {\frac {\rho }{\mu }}kT={\frac {3GM^{2}}{8\pi R^{4}}}}$

mit

• dem Druck ${\displaystyle p}$
• dem Volumen ${\displaystyle V}$
• der Zahl ${\displaystyle n}$ der Gasmoleküle
• der Boltzmann-Konstanten ${\displaystyle k}$
• der absoluten Temperatur ${\displaystyle T}$
• der Masse ${\displaystyle \mu }$ des einzelnen Gasmoleküls
• der Gravitationskonstanten ${\displaystyle G}$.

Daraus ergibt sich:

${\displaystyle \implies M_{\mathrm {crit} }={\sqrt {\frac {6}{\pi }}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{\rho }}\cdot \left({\frac {kT}{G\mu }}\right)^{3}}}}$.

Der numerische Vorfaktor ist hier ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {6}{\pi }}}\approx 1{,}38}$ und beschreibt den Zustand im Zentrum der Wolke.

Über das Energiegleichgewicht

Bei dem Ansatz über das Energiegleichgewicht steht die kinetische Energie ${\displaystyle \textstyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {3}{2}}nkT}$ nach Verwendung des Virialsatzes zur gravitativen Bindungsenergie der Gaswolke wie folgt:

${\displaystyle 2E_{\mathrm {kin} }=E_{\mathrm {grav} }}$

bzw. mit ${\displaystyle n={\tfrac {M}{\mu }}}$:

${\displaystyle \iff 3{\frac {M}{\mu }}kT={\frac {3GM^{2}}{5R}}}$

Die Auflösung nach ${\displaystyle M}$ führt zu folgender kritischen Masse:

${\displaystyle \implies M_{\mathrm {crit} }={\sqrt {\frac {3\cdot 5^{3}}{4\pi }}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{\rho }}\cdot \left({\frac {kT}{G\mu }}\right)^{3}}}}$

Also ein numerischer Vorfaktor ${\displaystyle \alpha \approx 5{,}46}$, der für eine einheitliche Temperatur der Wolke gilt.

Über die Schallgeschwindigkeit

Die von Jeans, gefundene Masse geht von der Schallgeschwindigkeit im einatomigen Gas mit dem Isentropenexponenten κ aus.

${\displaystyle c_{S}={\sqrt {\kappa {\frac {p}{\rho }}}}={\sqrt {\frac {5kT}{3\mu }}}}$

Mit der Jeans-Länge

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {Jeans} }=c_{S}{\sqrt {\frac {\pi }{G\rho }}}={\sqrt {\frac {5\pi kT}{3\mu G\rho }}}}$

ergibt sich die Jeans-Masse

${\displaystyle M_{\mathrm {Jeans} }={\frac {\pi }{6}}\rho \lambda _{\mathrm {Jeans} }^{3}=\alpha _{\mathrm {Jeans} }\cdot {\sqrt {{\frac {1}{\rho }}\cdot \left({\frac {kT}{G\mu }}\right)^{3}}}}$.

Der Faktor π/6 entspricht dabei dem Volumen einer Kugel in einem Würfel mit gegebener Kantenlänge λ.

Daraus ergibt sich der Vorfaktor mit

${\displaystyle \alpha _{\mathrm {Jeans} }={\frac {\pi }{6}}{\sqrt {\frac {5^{3}\pi ^{3}}{3^{3}}}}\approx 6{,}27}$.

Einfluss von Dichte und Temperatur

Wie sich aus den Formeln ablesen lässt, ist die Jeans-Masse für kalte Gaswolken kleiner als für heiße, dafür aber bei niedrigen Gasdichten höher. Das nebenstehende Diagramm gibt diese Abhängigkeit verschiedener Jeans-Massen von der Dichte und der Temperatur wieder. Die Jeans-Masse ist als Vielfaches der Sonnenmasse angegeben, als Gas wurde einatomiges Wasserstoffgas als häufigstes Element im Universum gewählt (Masse pro Atom: µ ≈ 1.67e^-27 kg). Die Berechnung erfolgte wie oben ausgeführt über das Druckgleichgewicht; die Berechnung über das Energiegleichgewicht würde zu einem leicht unterschiedlichen Ergebnis führen, allerdings sind beide Ansätze stark vereinfachte Näherungen.

Ablese-Beispiel: Eine Wolke aus einatomigem Wasserstoffgas von 10 Sonnenmassen und einer Dichte von 10⁻¹⁷kg ⋅m⁻³ kollabiert bei einer Temperatur von ≤ 10 K. Zur Veranschaulichung hätte eine solche Wolke etwa 6000 Atome pro cm³ und einen Durchmesser von 1,65 Lichtjahren (1.56e¹³ Kilometer).