Begriffe

Für jeden Wert ${\displaystyle z_{0}\in {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ definiert die Rekursion

${\displaystyle z_{n+1}=f(z_{n}){\text{ mit }}n\in \mathbb {N} _{0}{\text{ und einem Startwert }}z_{0}}$

eine Folge von Punkten auf der Riemannschen Zahlenkugel. Diese Folge wird auch als Orbit von ${\displaystyle z_{0}}$ bezeichnet:

${\displaystyle \operatorname {Or} ^{+}(z_{0})=\{f^{n}(z_{0})\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$

${\displaystyle f^{n}}$ bedeutet dabei immer ${\displaystyle n}$-malige Hintereinanderausführung von ${\displaystyle f}$ und ist nicht mit der ${\displaystyle n}$-ten Potenz zu verwechseln. Die Definition des inversen Orbits erfolgt etwas anders, weil ${\displaystyle f}$ im Allgemeinen nicht eindeutig umkehrbar ist. Der inverse Orbit eines Punktes ${\displaystyle z_{0}}$ besteht aus allen Punkten, die irgendwann auf diesen abgebildet werden:

${\displaystyle \operatorname {Or} ^{-}(z_{0})=\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:f^{k}(z)=z_{0}{\text{ für ein }}k\in \mathbb {N} _{0}\}}$

Falls ${\displaystyle z_{n}=z_{0}}$ für ein ${\displaystyle n}$ gilt, dann heißt ${\displaystyle z_{0}}$ ein periodischer Punkt und der Orbit

${\displaystyle \gamma =\{z_{0},f(z_{0}),f^{2}(z_{0}),\ldots ,f^{n-1}(z_{0})\}}$

heißt periodischer Orbit oder Zyklus. Ist ${\displaystyle n}$ die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft, dann heißt ${\displaystyle n}$ die Periode des Zyklus. Falls dies für ${\displaystyle n=1}$ zutrifft, wenn also ${\displaystyle f(z_{0})=z_{0}}$ gilt, dann ist ${\displaystyle z_{0}}$ ein Fixpunkt von ${\displaystyle f.}$ Offenbar ist ein periodischer Punkt von ${\displaystyle f,}$ dessen Periode gleich ${\displaystyle n}$ ist, ein Fixpunkt von ${\displaystyle f^{n}.}$ Anhand der Ableitung kann man die Stabilität eines periodischen Punktes charakterisieren. Sei dazu

${\displaystyle \lambda =\left(f^{n}\right)'(z_{0}).}$

Dann heißt der periodische Punkt

• stark anziehend, wenn ${\displaystyle \lambda =0,}$
• anziehend, wenn ${\displaystyle 0<|\lambda |<1,}$
• indifferent, wenn ${\displaystyle |\lambda |=1,}$
• abstoßend, wenn ${\displaystyle |\lambda |>1.}$

Durch Anwendung der Kettenregel sieht man, dass ${\displaystyle (f^{n})'}$ für alle Punkte des Zyklus den gleichen Wert hat, und analog heißt dieser Zyklus dann (stark) anziehend, indifferent oder abstoßend.

Diese Namensgebung ist durch folgende Beobachtung motiviert: Für den Fall ${\displaystyle |\lambda |\neq 0,1}$ verhält sich ${\displaystyle f^{n}}$ in einer Umgebung des Fixpunktes ${\displaystyle z_{0}}$ genauso wie ${\displaystyle g(z)=\lambda z}$ in einer Umgebung von Null. Unter Iteration wandern daher Werte immer näher an den Fixpunkt heran, wenn ${\displaystyle |\lambda |<1}$ gilt, und für ${\displaystyle |\lambda |>1}$ entfernen sich die Werte immer weiter vom Fixpunkt. Unter der Iteration zieht der Fixpunkt also Werte in seiner Umgebung an oder er stößt sie ab. Für ${\displaystyle |\lambda |=1}$ ist der Fall komplizierter, und für ${\displaystyle \lambda =0}$ werden die Werte mindestens so stark angezogen wie von ${\displaystyle g(z)=a\cdot z^{2}}$ in einer Umgebung von ${\displaystyle 0.}$

Ist ${\displaystyle z_{0}}$ ein anziehender Fixpunkt von ${\displaystyle f,}$ dann heißt die Menge

${\displaystyle A(z_{0})=\left\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:\lim _{k\to \infty }f^{k}(z)=z_{0}\right\}}$

das Einzugsgebiet des Fixpunktes. Die Menge ${\displaystyle A(z_{0})}$ besteht also aus allen Punkten, deren Orbit gegen ${\displaystyle z_{0}}$ konvergiert. Offenbar enthält diese Menge den inversen Orbit von ${\displaystyle z_{0}.}$ Das ${\displaystyle A}$ kommt vom englischen basin of attraction (Einzugsgebiet/Sammelbecken des Attraktors, hier also Sammelbecken eines anziehenden Fixpunktes oder Zyklus). Wenn ${\displaystyle \gamma }$ ein anziehender periodischer Zyklus der Periode ${\displaystyle n}$ ist, dann hat jeder der Fixpunkte ${\displaystyle f^{k}(z_{0}),\ k=0,\dotsc ,n-1}$ sein Einzugsgebiet, und ${\displaystyle A(\gamma )}$ bezeichnet die Vereinigung dieser Einzugsgebiete.

Definition

Eine mögliche Definition der Julia-Menge geschieht über die Menge ihrer abstoßenden periodischen Punkte:

${\displaystyle J_{f}\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;\operatorname {Abschluss} \left\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:z{\text{ ist abstoßender periodischer Punkt von }}f\right\},}$

wobei „Abschluss“ den topologischen Abschluss meint. Dies ist die Definition, auf der Julia seine Theorie aufbaute. Ausgangspunkt der Fatouschen Arbeit war eine andere, weiter unten angegebene Definition.

Jedes Element der Julia-Menge lässt sich also als Grenzwert einer konvergenten Folge darstellen, die nur aus abstoßenden periodischen Punkten von ${\displaystyle f}$ besteht.

Grundlegende Eigenschaften

Einige Eigenschaften der Julia-Menge sind:

1. Die Menge der abstoßenden periodischen Punkte ist dicht in ${\displaystyle J_{f}.}$
2. ${\displaystyle J_{f}\neq \emptyset }$ und enthält überabzählbar viele Punkte.
3. ${\displaystyle f(J_{f})\,\!=J_{f}=f^{-1}(J_{f})}$
4. Die Julia-Mengen von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f^{k},\ k=1,2,\ldots }$ sind identisch.
5. Für jedes ${\displaystyle z}$ aus ${\displaystyle J_{f}}$ ist der inverse Orbit ${\displaystyle \operatorname {Or} ^{-}(z)}$ dicht in ${\displaystyle J_{f}.}$
6. Ist ${\displaystyle \gamma }$ ein anziehender Zyklus von ${\displaystyle f,}$ dann gilt für das Einzugsgebiet des Zyklus und dessen Rand: ${\displaystyle A(\gamma )\subset F_{f}={\overline {\mathbb {C} }}\setminus J_{f}}$ und ${\displaystyle \partial A(\gamma )=J_{f}.}$
7. Sei ${\displaystyle z}$ ein Element der Julia-Menge und ${\displaystyle U}$ eine Umgebung von ${\displaystyle z.}$ Dann gibt es eine natürliche Zahl ${\displaystyle n=n(U)}$ mit ${\displaystyle f^{n}(J_{f}\cap U)=J_{f}.}$
8. Falls die Julia-Menge innere Punkte hat, dann gilt ${\displaystyle J_{f}={\overline {\mathbb {C} }}.}$

Kritische Punkte

Ein Punkt ${\displaystyle z}$ heißt kritischer Punkt von ${\displaystyle f}$, wenn ${\displaystyle f}$ in keiner Umgebung von ${\displaystyle z}$ umkehrbar ist. Ist ${\displaystyle f}$ differenzierbar, dann ist ein kritischer Punkt durch

${\displaystyle f'\!\,(z)=0}$

charakterisiert. In jedem Einzugsgebiet, das zu einem (stark) anziehenden Attraktor gehört, liegt mindestens ein kritischer Punkt. Indem man die kritischen Punkte einer Funktion betrachtet, können daher Aussagen über die Dynamik dieser Funktion getroffen werden.

Ein bekanntes Beispiel dafür ist die Mandelbrot-Menge, deren Bezug zu bestimmten Julia-Mengen weiter unten erläutert wird. Die Mandelbrot-Menge kartographiert das unterschiedlichen Verhalten des kritischen Punktes ${\displaystyle 0}$ der Abbildung ${\displaystyle z\mapsto z^{2}+c}$ für verschiedene Werte von ${\displaystyle c.}$

Dynamik am Beispiel f(z) = z²

An diesem einfachen Beispiel lassen sich schon viele Eigenschaften der Julia-Menge nachweisen.

Die Funktion ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ hat drei Fixpunkte: ${\displaystyle 0,1,\infty .}$ Für diese Punkte gilt ${\displaystyle f(z)=z.}$ Da die Ableitung in ${\displaystyle 0}$ und in ${\displaystyle \infty }$ verschwindet, sind diese beiden Fixpunkte anziehende Fixpunkte, während ${\displaystyle 1}$ abstoßend ist. Alle Startwerte, deren Betrag kleiner als ${\displaystyle 1}$ ist, konvergieren gegen ${\displaystyle 0}$ und alle Startwerte, deren Betrag größer als ${\displaystyle 1}$ ist, konvergieren gegen ${\displaystyle \infty$ :}

${\displaystyle A(\infty )=\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:|z|>1\}}$

${\displaystyle A(0)\,\,\,=\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:|z|<1\}}$

Im verbleibenden Fall ${\displaystyle |z|=1}$ liegt ${\displaystyle z}$ auf dem Einheitskreis, hat die Darstellung ${\displaystyle z=\mathrm {e} ^{2\pi i\cdot x}}$ und es gilt ${\displaystyle f(z)=z^{2}=\mathrm {e} ^{2\pi i\cdot 2x}.}$ Anwendung von ${\displaystyle f}$ verdoppelt also lediglich den (reellen) Exponenten in der Polarkoordinatendarstellung, der Betrag der Zahl bleibt immer gleich ${\displaystyle 1}$. Der Exponent ${\displaystyle x}$ kann immer so gewählt werden, dass er im halboffenen Intervall ${\displaystyle [0,1)}$ liegt. Betrachtet man nur die Wirkung von ${\displaystyle f}$ auf die Variable ${\displaystyle x}$ im Exponenten, dann entspricht ${\displaystyle f}$ der Abbildung

${\displaystyle g\colon x\mapsto 2x\mod 1}$

auf dem reellen Intervall ${\displaystyle [0,1),}$ das heißt einer Multiplikation mit ${\displaystyle 2}$, wobei nur die Nachkommastellen relevant sind. Der Fixpunkt ${\displaystyle 1}$ von ${\displaystyle f}$ wird zum Fixpunkt ${\displaystyle 0}$ von ${\displaystyle g}$. Iteriert man den Wert ${\displaystyle 1/3}$ mit ${\displaystyle g}$, dann ergibt sich die Folge

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\mapsto {\tfrac {2}{3}}\mapsto {\tfrac {4}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\mapsto {\tfrac {2}{3}}\mapsto \cdots }$

Also ist ${\displaystyle 1/3}$ ein periodischer Punkt, ebenso ${\displaystyle 2/3.}$ In der Darstellung einer Zahl als Dualbruch werden durch die Multiplikation mit ${\displaystyle 2}$ nur die Ziffern um eine Stelle nach links geschoben, und die Vorkommastelle wird durch das „mod“ immer auf ${\displaystyle 0}$ gesetzt, wie am Beispiel ${\displaystyle 3/8}$ zu sehen ist:

${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}=0.011_{2}\mapsto 0.11_{2}\mapsto 0.1_{2}\mapsto 0\mapsto 0\mapsto \cdots }$

Betrachtet man die Mengen

${\displaystyle P\,=\{x\in [0,1):x\equiv {\tfrac {a}{u}}{\text{ mit }}u\in \mathbb {N} {\text{ ungerade und }}a\in \mathbb {N} _{0}{\text{ teilerfremd zu }}u\}}$

${\displaystyle W=\{x\in [0,1):x\equiv {\tfrac {a}{2^{n}}}{\text{ mit }}a,n\in \mathbb {N} _{0}\}}$,

dann sieht man direkt, dass ${\displaystyle P}$ die Menge der periodischen Punkte von ${\displaystyle g}$ ist, weil die Nachkommastellen der Elemente von ${\displaystyle P}$ periodisch sind. Die Menge der periodischen Punkte – das sind die rationalen Zahlen mit ungeradem Nenner – liegen dicht im Intervall ${\displaystyle [0,1).}$ Mit der obigen Definition entspricht das Intervall der Julia-Menge von ${\displaystyle f.}$ Die Julia-Menge von ${\displaystyle f}$ ist also der Rand des Einheitskreises ${\displaystyle S_{1}:}$

${\displaystyle J_{f}=S_{1}=\{z\in {\overline {\mathbb {C} }}:|z|=1\}}$

Alle Elemente von ${\displaystyle W}$ werden schließlich auf Null abgebildet, denn die Elemente von ${\displaystyle W}$ haben eine abbrechende Dualentwicklung. ${\displaystyle W}$ ist also der inverse Orbit von ${\displaystyle 0}$ unter ${\displaystyle g}$. Gemäß Eigenschaft 5 ist diese Menge dicht in der Julia-Menge: Die Zahlen mit abbrechender Dualentwicklung sind dicht im Intervall ${\displaystyle [0,1).}$ Die Julia-Menge ist sowohl der Rand des Einzugsgebietes von ${\displaystyle \infty }$ als auch der Rand des Einzugsgebietes von ${\displaystyle 0}$ (Eigenschaft 6).

Eigenschaft 7 lässt sich auch direkt nachweisen: Sei ${\displaystyle U}$ eine Umgebung eines Punktes von ${\displaystyle J_{f},}$ das heißt ein Teilstück des Einheitskreises der Länge ${\displaystyle \ell .}$ Ist die Länge kleiner als der Halbkreis, dann verdoppelt sich die Länge des Teilstücks mit jeder Anwendung von ${\displaystyle f.}$ Man wähle ${\displaystyle n}$ daher so, dass ${\displaystyle \ell \cdot 2^{n}\geqslant 2\pi }$ gilt und hat die komplette Julia-Menge überdeckt.

Alle rationalen Zahlen führen zu Folgen, die schließlich periodisch werden. Grund dafür ist, dass rationale Zahlen eine periodische Dualentwicklung haben. Entsprechend führen irrationale Zahlen zu Folgen, die nicht periodisch werden.

Dynamik quadratischer Polynome

Im allgemeinen Fall quadratischer Polynome genügt es, Polynome der Gestalt

${\displaystyle f_{c}\colon z\mapsto z^{2}+c}$

zu betrachten, denn alle anderen quadratischen Polynome lassen sich durch eine lineare Koordinatentransformation in diese Darstellung bringen.

Ebenso wie bei der Normalparabel ist ${\displaystyle \infty }$ ein anziehender Fixpunkt der Abbildung, und in einer Umgebung von ${\displaystyle \infty }$ gibt es eine Transformation ${\displaystyle \varphi _{c},}$ die ${\displaystyle f_{c}}$ in eine Normalparabel überführt:

${\displaystyle \varphi _{c}^{-1}\circ f_{c}\circ \varphi _{c}=z^{2}}$

Liegt ein Punkt ${\displaystyle z_{n}}$ in dieser Umgebung und ist ${\displaystyle f_{c}}$ dort umkehrbar, dann lässt sich zu dem Punkt mittels der Iterationsvorschrift das Urbild ${\displaystyle z_{n-1}}$ finden:

${\displaystyle z_{n-1}:={\sqrt {z_{n}-c}}}$

Das Urbild wird so ausgewählt, dass die Transformation ${\displaystyle \varphi _{c}}$ stetig auf den neuen, größeren Bereich fortgesetzt werden kann. Durch dieses Verfahren kann die Umgebung, in der ${\displaystyle f_{c}}$ die gleiche Dynamik hat wie ${\displaystyle z^{2},}$ sukzessive vergrößert werden – zumindest so lange, wie die Funktion umkehrbar ist, solange man also durch Rückwärtsiteration nicht zu einem kritischen Punkt der Funktion gelangt. Entscheidend für die Dynamik ist daher das Verhalten des kritischen Punktes ${\displaystyle 0.}$ Dies ist der einzige kritische Punkt außer ${\displaystyle \infty .}$

Liegt ${\displaystyle 0}$ im Einzugsbereich von ${\displaystyle \infty ,}$ dann kann die Transformation irgendwann nicht mehr weitergeführt werden, weil die Rückwärtsiteration zu diesem Punkt der Nicht-Umkehrbarkeit von ${\displaystyle f_{c}}$ gelangt. Falls der Punkt ${\displaystyle 0}$ nicht gegen ${\displaystyle \infty }$ strebt, dann kann der Homöomorphismus ${\displaystyle \varphi _{c}}$ auf alle Punkte außerhalb der Kreisscheibe ausgedehnt werden. In diesem Fall ist die Julia-Menge von ${\displaystyle f_{c}}$ zusammenhängend.

Liegt ${\displaystyle 0}$ hingegen im Einzugsgebiet von ${\displaystyle \infty ,}$ dann kann die Transformation nicht bis zur Kreisscheibe ausgedehnt werden, weil man zu einem Verzweigungspunkt, nämlich dem kritischen Punkt, gelangt. In diesem Fall kann es neben dem Attraktor ${\displaystyle \infty }$ keinen anderen anziehenden Attraktor geben, denn jeder anziehende Attraktor enthält mindestens einen kritischen Punkt. In diesem Fall besteht die Julia-Menge aus Cantor-Staub und die Fatou-Menge hat nur eine einzige Zusammenhangskomponente.

Für das Lebesgue-Maß der Julia-Menge rationaler Abbildungen wurde lange entsprechend den Beispielen, in denen man es berechnen konnte, angenommen, dass es entweder ${\displaystyle 0}$ ist (Cantor-Staub) oder die ganze Riemann-Sphäre umfasst. Die Existenz von Julia-Mengen positiven Lebesgue-Maßes bei Iteration quadratischer Polynome wurde von Adrien Douady vermutet und 2005 von Xavier Buff und Arnaud Chéritat bewiesen.

Beziehung zur Mandelbrot-Menge

Diese beiden grundlegend verschiedenen Eigenschaften geben Anlass zur Definition einer Parametermenge, die alle komplexen Zahlen beinhaltet, für die der kritische Punkt ${\displaystyle 0}$ von ${\displaystyle f_{c}}$ nicht nach ${\displaystyle \infty }$ entweicht: die Mandelbrot-Menge

${\displaystyle M:=\left\{c\in {\overline {\mathbb {C} }}:f_{c}^{n}(0)\not \to \infty {\text{, wenn }}n\to \infty \right\}}$

Das heißt, die Mandelbrot-Menge ist die Menge der Parameter ${\displaystyle c,}$ für welche die Rekursion ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$ beschränkt bleibt, wenn man ${\displaystyle z_{0}=0}$ wählt.

Die Mandelbrot-Menge ist also eine Beschreibungsmenge der Julia-Mengen quadratischer Polynome. Jedem Punkt ${\displaystyle c}$ der komplexen Zahlenebene entspricht eine Julia-Menge. Eigenschaften der Julia-Menge lassen sich an der Lage von ${\displaystyle c}$ relativ zur Mandelbrot-Menge beurteilen: Wenn der Punkt ${\displaystyle c}$ Element der Mandelbrot-Menge ist, dann sind sowohl die Julia-Menge ${\displaystyle J_{c}}$ als auch ${\displaystyle K_{c}}$ zusammenhängend. Andernfalls sind beide Cantormengen unzusammenhängender Punkte. Liegt der Punkt in ${\displaystyle M,}$ dann besteht die Fatou-Menge aus zwei Zusammenhangskomponenten, nämlich aus dem von der Julia-Menge umgrenzten Gebiet sowie dem Einzugsgebiet von ${\displaystyle \infty .}$ Liegt ${\displaystyle c}$ nicht in der Mandelbrot-Menge, dann besteht die Fatou-Menge nur aus dem Einzugsgebiet von ${\displaystyle \infty .}$

Falls ${\displaystyle c}$ in der Nähe des Randes der Mandelbrot-Menge liegt, dann ähnelt die entsprechende Julia-Menge den Strukturen der Mandelbrot-Menge in der näheren Umgebung von ${\displaystyle c.}$

Graphische Darstellung der Julia-Mengen

Zur graphischen Darstellung der ausgefüllten Julia-Mengen ${\displaystyle K_{c}}$ in der zweidimensionalen komplexen Zahlenebene wird die Farbe eines Punktes danach gewählt, wie viele Iterationen notwendig waren, bis ${\displaystyle |z_{n}|\geq K\geq 2,}$ da die Iteration für alle ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle |z|\geq 2}$ divergiert. Punkte, die nach einer vorgegebenen Maximalzahl von Iterationsschritten betragsmäßig kleiner als ${\displaystyle K}$ sind, werden als konvergierend angenommen und in der Regel schwarz dargestellt. Die Wahl von ${\displaystyle K=2}$ ist zwar möglich, allerdings ergeben sich für größere Werte wie ${\displaystyle K=1000}$ harmonischere Färbungen, die zudem gut den Äquipotentiallinien einer elektrisch aufgeladenen Julia-Menge entsprechen.