${\displaystyle \Diamond }$ (Karo) ist ein „kombinatorisches“ Prinzip in der Mengenlehre.

Definition

Für jede unendliche Kardinalzahl ${\displaystyle \kappa }$ ist ${\displaystyle \Diamond _{\kappa }}$ eine Abkürzung für die folgenden Aussage:

• es gibt eine Folge ${\displaystyle \langle A_{\alpha }:\alpha \in \kappa \rangle }$ mit folgenden Eigenschaften:

• für alle ${\displaystyle \alpha }$ gilt ${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq \alpha }$
• für alle ${\displaystyle A\subseteq \kappa }$ ist die Menge ${\displaystyle \{\alpha \in \kappa :A\cap \alpha =A_{\alpha }\}}$ eine stationäre Teilmenge von ${\displaystyle \kappa }$.

Oft spricht man vereinfachend davon, dass das Prinzip ${\displaystyle \Diamond _{\kappa }}$ es ermöglicht, Teilmengen von ${\displaystyle \kappa }$ zu „erraten“. Während die Anzahl der Teilmengen von ${\displaystyle \kappa }$ (also die Kardinalität der Potenzmenge von ${\displaystyle \kappa }$) zwar nach dem Satz von Cantor größer als ${\displaystyle \kappa }$ ist, postuliert ${\displaystyle \Diamond _{\kappa }}$, dass es eine transfinite Folge der Länge ${\displaystyle \kappa }$ gibt, die alle Teilmengen von ${\displaystyle \kappa }$ „errät“ (genauer: stationär oft besser und besser approximiert).

Statt ${\displaystyle \Diamond _{\omega _{1}}}$ schreibt man oft nur ${\displaystyle \Diamond }$.

Zusammenhang mit CH und GCH

Die Aussage ◊ ist in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) weder beweisbar noch widerlegbar.

Man zeigt leicht, dass aus ◊ die Kontinuumshypothese CH folgt. Allgemeiner folgt aus ${\displaystyle \Diamond _{\kappa ^{+}}}$ die Gleichung ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}}$. Aus CH kann man ◊ nicht folgern, aber aus ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}}$ zusammen mit ${\displaystyle \kappa ^{\omega }=\kappa }$ kann man ${\displaystyle \Diamond _{\kappa ^{+}}}$ schließen. Aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH folgt also ${\displaystyle \Diamond _{\kappa ^{+}}}$ für alle ${\displaystyle \kappa }$ mit überabzählbarer Konfinalität.

Anwendungen

◊ impliziert, dass die Suslin-Hypothese falsch ist; mit anderen Worten: dass es eine Suslin-Gerade gibt, also eine nicht-separable lineare Ordnung, in der dennoch jede Familie von disjunkten Intervallen höchstens abzählbar ist.