Die Kato-Ungleichung ist in der Funktionalanalysis eine Distributions-Ungleichung für den Laplace-Operator respektive gewisse elliptische Operatoren. Sie wurde 1972 von dem japanischen Mathematiker Tosio Kato bewiesen.

Wir behandeln hier den Fall für den Laplace-Operator, wie sie bei Haïm Brezis und Wolfgang Arendt zu finden ist. Die ursprüngliche Ungleichung gilt allgemeiner für gewisse degenerierte elliptische Operatoren.

Aussage

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ eine beschränkte, offene Menge und ${\displaystyle f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}$, so dass ${\displaystyle \Delta f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}$. Dann gilt

${\displaystyle \Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad }$ in ${\displaystyle \;{\mathcal {D}}'(\Omega )}$,

wobei

${\displaystyle \operatorname {sgn} {\overline {f}}={\begin{cases}{\frac {\overline {f(x)}}{|f(x)|}}&{\text{falls }}f\neq 0\\0&{\text{falls }}f=0.\end{cases}}}$

${\displaystyle L_{\operatorname {loc} }^{1}}$ ist der Raum der lokal integrierbaren Funktionen.

Literatur

• Haı̈m Brezis und Augusto Ponce: Kato's inequality when ${\displaystyle \Delta u}$ is a measure. In: Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I: Mathematics. Band 338, 2004, S. 599–604, doi:10.1016/j.crma.2003.12.032. 
• W. Arendt und A.F.M. ter Elst: Kato’s Inequality. Hrsg.: Springer (= Analysis and Operator Theory. Springer Optimization and Its Applications. Band 146). Cham 2019, doi:10.1007/978-3-030-12661-2_3. 

Einzelnachweise

1. ↑ Tosio. Kato: Schrödinger operators with singular potentials. In: Israel J. Math. Band 13, 1972, S. 135–148, doi:10.1007/BF02760233. 
2. 1 2 Haı̈m Brezis und Augusto Ponce: Kato's inequality when ${\displaystyle \Delta u}$ is a measure. In: Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I: Mathematics. Band 338, 2004, S. 599–604, doi:10.1016/j.crma.2003.12.032. 
3. ↑ Allen Devinatz: On an Inequality of Tosio Kato for Degenerate-Elliptic Operators. In: Journal of Functional Analysis. Band 32, Nr. 3, 1979, S. 312–335, doi:10.1016/0022-1236(79)90043-0. 
4. ↑ W. Arendt und A.F.M. ter Elst: Kato’s Inequality. Hrsg.: Springer (= Analysis and Operator Theory. Springer Optimization and Its Applications. Band 146). Cham 2019, doi:10.1007/978-3-030-12661-2_3. 
5. ↑ Toshio Horiuchi: Some remarks on Kato’s inequality. In: Journal of Inequalities and Applications. 2001, doi:10.1155/S1025583401000030. 
6. ↑ Juan Dávila und Augusto Ponce: Variants of Kato’s inequality and removable singularities. In: Journal d'Analyse Mathematique. Band 91, 2003, S. 143–178, doi:10.1007/BF02788785.