Sei ${\displaystyle K}$ ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist seine Klassenzahl ${\displaystyle h_{K}}$ die Ordnung der (stets endlichen) Idealklassengruppe von ${\displaystyle K}$.

Zahlentheoretische Bedeutung

Möchte man eine Gleichung ${\displaystyle F(x)=1}$ über einem Zahlkörper lösen, so ist eine mögliche Strategie, die Gleichung über der Idealgruppe ${\displaystyle I_{K}}$ und der Idealklassengruppe ${\displaystyle Cl_{K}}$ zu lösen. Ist 1 die einzige Lösung über der Idealklassengruppe, so ist jedes Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ mit ${\displaystyle F({\mathfrak {a}})=1}$ ein Hauptideal: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(\alpha )}$. Diese Zahl ${\displaystyle \alpha }$ löst die ursprüngliche Gleichung modulo Einheiten.

Um die Gleichung über ${\displaystyle Cl_{K}}$ zu lösen, genügt es, die Struktur von ${\displaystyle Cl_{K}}$ als abelsche Gruppe zu kennen. In den meisten Fällen genügt sogar die Kenntnis der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle h_{K}}$ (z. B. ${\displaystyle x^{n}=1\Rightarrow x=1}$ für ${\displaystyle (n,h_{K})=1}$ oder: ${\displaystyle x^{n}=1}$, falls ${\displaystyle h_{K}|n}$).

Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Idealklassenzahl eine der zentralen Aufgaben der Zahlentheorie.

Beispiel imaginärquadratischer Zahlkörper und Gaußsches Klassenzahlproblem

Es gibt genau 9 sogenannte Heegner-Zahlen ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$, für die ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ die Klassenzahl ${\displaystyle h_{K}=1}$ hat: ${\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67}$ und ${\displaystyle 163}$. Sie stellen die Lösung des Gaußschen Klassenzahlproblems für imaginärquadratische Zahlkörper dar – der Frage, welche imaginär-quadratischen Zahlkörper die Klassenzahl 1 haben, das heißt eindeutige Primfaktorzerlegung. Die Lösung stammt von Kurt Heegner.

Eigenschaften

• Klassenzahlformel: Für die Klassenzahl ${\displaystyle h_{K}}$ gilt:

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h_{K}\cdot \operatorname {Reg} _{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {\mid D_{K}\mid }}}}}$

Dabei ist ${\displaystyle w_{K}}$ die Anzahl der Einheitswurzeln in ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle D_{K}}$ die Diskriminante der Erweiterung ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}}$ der Regulator von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle \zeta _{K}}$ die Dedekindsche Zeta-Funktion von ${\displaystyle K}$.

Die Klassenzahlformel eignet sich zur praktischen Berechnung der Klassenzahl.

• Sei ${\displaystyle K|k}$ eine ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-Erweiterung, d. h., ${\displaystyle k=k_{0}\subset k_{1}\subset \cdots \subset K}$ und ${\displaystyle G(k_{n}|k)\cong \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$. Sei ferner ${\displaystyle p^{e_{n}}}$ der ${\displaystyle p}$-Anteil der Klassenzahl ${\displaystyle h_{k_{n}}}$. Dann gibt es von ${\displaystyle n}$ unabhängige natürliche Zahlen ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \nu }$, sodass ${\displaystyle e_{n}=\lambda n+\mu p^{n}+\nu }$ für hinreichend großes ${\displaystyle n}$. (Siehe: Iwasawa-Theorie)
• Vermutung von Vandiver (nicht allgemein bewiesen, für ${\displaystyle p<12\cdot 10^{6}}$ verifiziert):

Sei ${\displaystyle K^{+}:=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}=\mathbb {Q} (\zeta _{p})\cap \mathbb {R} }$. Dann ist ${\displaystyle p}$ kein Teiler von ${\displaystyle h_{K^{+}}}$.

Siehe auch

• Relativklassenzahl

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-540-54273-6.
• Lawrence C. Washington Introduction to Cyclotomic Fields (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 83). 2nd Edition. Springer, New York NY 1997, ISBN 0-387-94762-0.