In der Mathematik ist das komplexe Volumen eine Invariante 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Für Komplemente von Knoten und Verschlingungen stellt die Volumenvermutung einen Zusammenhang zwischen dem komplexen Volumen und der Asymptotik von Quanteninvarianten her.

Definition

Für eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens ${\displaystyle M}$ wird das komplexe Volumen definiert als

${\displaystyle \operatorname {vol} _{\mathbb {C} }(M):=\operatorname {vol} (M)+i\,\operatorname {cs} (M)\in \mathbb {C} /4\pi ^{2}\mathbb {Z} i}$,

wobei ${\displaystyle \operatorname {vol} (M)}$ das hyperbolische Volumen und ${\displaystyle \operatorname {cs} (M)}$ die SO(3)-Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs ist.

Allgemeiner kann man für Darstellungen ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}M\to SL(n,\mathbb {C} )}$ das komplexe Volumen definieren als

${\displaystyle \operatorname {vol} _{\mathbb {C} }(\rho ):=i\left\langle {\hat {c}}_{2}(E_{\rho }),\left[M\right]\right\rangle \in \mathbb {C} /4\pi ^{2}\mathbb {Z} i}$,

wobei ${\displaystyle E_{\rho }}$ das flache Bündel mit Holonomie ${\displaystyle \rho }$,

${\displaystyle {\hat {c}}_{2}(E_{\rho })\in H^{3}(M;\mathbb {C} /4\pi ^{2}\mathbb {Z} i)}$

seine 2. Cheeger-Chern-Simons-Klasse und

${\displaystyle \left[M\right]\in H_{3}(M;\mathbb {Z} )}$

die Fundamentalklasse von ${\displaystyle M}$ ist.

Die Volumen-Vermutung postuliert für hyperbolische Knoten ${\displaystyle K}$ die Gleichung

${\displaystyle \operatorname {vol} _{\mathbb {C} }(S^{3}\setminus K)=2\pi \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\log J_{N}(K,e^{\frac {2\pi i}{N}})}$,

wobei ${\displaystyle J_{N}(K,q)}$ das ${\displaystyle N}$-te gefärbte Jones-Polynom von ${\displaystyle K}$ bezeichnet.

Literatur

• W. D. Neumann: Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 8, 413–474 (2004). pdf
• S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert: The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds. Duke Math. J. 164, 2099–2160 (2015). pdf