In der Mathematik ist die kontragrediente Darstellung oder duale Darstellung ein wichtiges Hilfsmittel in linearer Algebra, projektiver Geometrie und Darstellungstheorie.

Definition

Zu einer gegebenen Darstellung

${\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} (V)}$

kann man die duale Darstellung

${\displaystyle \rho ^{*}\colon G\to \operatorname {GL} (V^{*})}$

in den dualen Vektorraum ${\displaystyle V^{*}}$ definieren durch

${\displaystyle \left(\rho ^{*}(s)\nu \right)(v)=\nu \left(\rho (s^{-1})v\right)}$

für alle ${\displaystyle s\in G,v\in V}$ und ${\displaystyle \nu \in V^{*}.}$

Mit dieser Definition gilt für die natürliche Paarung ${\displaystyle \langle \nu ,v\rangle$ :=\nu (v)} zwischen ${\displaystyle V^{*}}$ und ${\displaystyle V:}$

${\displaystyle \langle \rho ^{*}(s)(\nu ),\rho (s)(v)\rangle =\langle \nu ,v\rangle }$ für alle ${\displaystyle s\in G,v\in V,\nu \in V^{*}.}$

Darstellung durch Matrizen

Nach Wahl einer Basis und der kanonischen dualen Basis wird ${\displaystyle \rho (g)}$ durch eine Matrix ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle \rho ^{*}(g)}$ durch die Transponierte der inversen Matrix beschrieben, also ${\displaystyle \rho ^{*}(g)=(A^{T})^{-1}}$.

Beweis: Sei ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}}$ die duale Basis von ${\displaystyle V^{*}}$. Sei

${\displaystyle gv_{i}=\sum _{j}a_{ij}(g)v_{j}\in V}$

und

${\displaystyle gv_{j}^{*}=\sum _{i}b_{ij}(g)v_{i}^{*}\in V^{*}}$,

dann ist

${\displaystyle b_{ji}(g)=(gv_{j})^{*}v_{i}=v_{j}^{*}(g^{-1}v_{i})=v_{j}^{*}\left(\sum _{k}a_{ik}(g^{-1})v_{k}\right)=a_{ij}(g^{-1})}$.

Unitäre Darstellungen

Wenn ${\displaystyle \rho }$ eine unitäre Darstellung ist, dann ist ${\displaystyle \rho ^{*}}$ die komplex konjugierte Darstellung ${\displaystyle {\overline {\rho }}}$.

Beispiel

Sei ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ und sei ${\displaystyle \rho \colon \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$ die Darstellung von ${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ definiert durch

${\displaystyle \rho ({\overline {0}})={\text{Id}},\,\,\rho ({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,{\text{ und }}\,\,\rho ({\overline {2}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {4\pi }{3}})&-\sin({\frac {4\pi }{3}})\\\sin({\frac {4\pi }{3}})&\cos({\frac {4\pi }{3}})\end{array}}\right).}$

Dann ist die duale Darstellung ${\displaystyle \rho ^{*}\colon \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to \operatorname {GL} ((\mathbb {C} ^{2})^{*})}$ gegeben durch:

${\displaystyle \rho ^{*}({\overline {0}})={\text{Id}},\,\,\rho ^{*}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {4\pi }{3}})&\sin({\frac {4\pi }{3}})\\-\sin({\frac {4\pi }{3}})&\cos({\frac {4\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,{\text{ und }}\,\,\rho ^{*}({\overline {2}})=\left({\begin{array}{cc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&\sin({\frac {2\pi }{3}})\\-\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right).}$

Literatur

• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo: Representations of compact Lie groups. Graduate Texts in Mathematics, 98. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-13678-9
• Fulton, William; Harris, Joe: Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag, 1991. ISBN 978-0-387-97495-8