Das Korrelationsintegral

Die Korrelation ist mathematisch durch das Korrelationsintegral für Zeitfunktionen beschrieben:

${\displaystyle \rho (\tau )=K\int _{-\infty }^{\infty }x(t)m(t+\tau ){\rm {d}}t}$

Für komplexe Zeitfunktionen gilt:

${\displaystyle \rho (\tau )=K\int _{-\infty }^{\infty }x^{*}(t)m(t+\tau ){\rm {d}}t}$

Der Wert K und die Integralgrenzen müssen den entsprechenden Funktionen angepasst werden:

${\displaystyle K={\begin{cases}1&{\text{bei aperiodischen Signalen}}\\{\frac {1}{2T}}&{\text{bei periodischen Signalen, die Integralgrenzen verlaufen dann von }}-T{\text{ bis }}T\\\lim \limits _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}&{\text{bei Zufallssignalen}}\end{cases}}}$

x(t) ist die zu analysierende Funktion, m(t) ist die Musterfunktion.

Musterfunktion m(t)

m(t) kann jede beliebige Musterfunktion sein. Sie sollte jedoch sinnvoll angepasst werden.

Das Korrelationsintegral geht je nach Musterfunktion ${\displaystyle m(t)}$ über in andere Signaltransformationen:

• Fourier-Transformation: ${\displaystyle m(t)=e^{-i\omega t}}$
• Laplace-Transformation: ${\displaystyle m(t)=e^{-st},s=\sigma +i\omega }$
• Hilbert-Transformation: ${\displaystyle m(t)={\frac {1}{\pi t}}}$
• Autokorrelation: ${\displaystyle m(t)=x(t)}$
• Kreuzkorrelation: ${\displaystyle m(t)=y(t)}$
• Flächenberechnung: ${\displaystyle m(t)=1}$
• Walsh-Hadamard-Transformation
• Wavelet-Transformation

Korrelationsfaktor als Maß für die Ähnlichkeit zweier Signale

Die Ähnlichkeit zweier Signale wird zunächst anhand zweier reellwertiger Energiesignale beschrieben, anschließend anhand zweier reellwertiger Leistungssignale. Die komplexwertigen Signale werden hier nicht weiter behandelt.

Die Signalenergie E_s eines reellwertigen Signals s berechnet sich zu

${\displaystyle E_{s}=\int _{-\infty }^{\infty }s^{2}(t){\rm {d}}t.}$

Betrachtet man zusammengesetzte Signale s(t) = x(t) + y(t), so führt das auf die Gleichung

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{s}&=\int _{-\infty }^{\infty }s^{2}(t){\rm {d}}t\\&=\int _{-\infty }^{\infty }(x(t)+y(t))^{2}{\rm {d}}t\\&=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}(t){\rm {d}}t} _{E_{x}}+\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }y^{2}(t){\rm {d}}t} _{E_{y}}+\underbrace {2\int _{-\infty }^{\infty }x(t)y(t){\rm {d}}t} _{2E_{xy}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{x}}$ ist die Energie von x, und ${\displaystyle E_{y}}$ ist die Energie von y. Die Größe ${\displaystyle E_{xy}}$ heißt Kreuzenergie. Sie kann positiv, negativ oder null sein.

Es ist zweckmäßig, die Kreuzenergie mit den Signalenergien über die Gleichung

${\displaystyle E_{xy}=\rho {\sqrt {E_{x}E_{y}}}}$

in Beziehung zu setzen.

Der Faktor ${\displaystyle \rho }$ ist der Korrelationsfaktor, auch Korrelationskoeffizient genannt. Für ihn gilt stets: ${\displaystyle \rho ^{2}\leq 1}$, was mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus der Analysis bewiesen werden kann.

Die Energie des Gesamtsignals hängt nach den eben gemachten Ausführungen von der Signalenergie von x, der Signalenergie von y und dem Korrelationsfaktor ${\displaystyle \rho }$ ab.

Der Korrelationsfaktor hat den Wert ${\displaystyle \rho =1}$, wenn man das Signal x(t) mit dem Signal ${\displaystyle y(t)=|k|x(t)}$ korreliert. Man nennt das Signal in diesem Fall gleichläufig. Die Signalenergie des Gesamtsignals ist maximal.

Der Korrelationsfaktor hat den Wert ${\displaystyle \rho =-1}$, wenn man das Signal x(t) mit dem Signal ${\displaystyle y(t)=-|k|x(t)}$ korreliert. Man nennt das Signal in diesem Fall gegenläufig. Die Signalenergie des Gesamtsignals ist minimal.

Eine Besonderheit liegt vor, wenn der Korrelationsfaktor den Wert ${\displaystyle \rho =0}$ annimmt. Man nennt beide Signale dann orthogonal (bei Energiesignalen darf man auch sagen: unkorreliert).

Der Korrelationsfaktor ist, wie an den Beispielen klar wird, ein Maß dafür, wie ähnlich sich zwei Signale sind.

Bei Leistungssignalen finden sich ähnliche Zusammenhänge. Für die Signalleistung ${\displaystyle P_{s}}$ eines Signals ${\displaystyle s(t)=x(t)+y(t)}$ ergibt sich

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{s}&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}s^{2}(t){\rm {d}}t\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}(x(t)+y(t))^{2}{\rm {d}}t\\&=\underbrace {\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{2}(t){\rm {d}}t} _{P_{x}}+\underbrace {\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}y^{2}(t){\rm {d}}t} _{P_{y}}+\underbrace {2\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)y(t){\rm {d}}t} _{2P_{xy}}.\end{aligned}}}$

Hier bestimmt der Kreuzleistungsfaktor ${\displaystyle {\overline {\rho }}={\tfrac {P_{xy}}{\sqrt {P_{x}P_{y}}}}}$ den Grad der Übereinstimmung beider Signale. Für ${\displaystyle {\overline {\rho }}=0}$ nennt man beide Signale orthogonal. Je größer ${\displaystyle {\overline {\rho }}^{2}}$ ist, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Signale etwas miteinander zu tun haben.

Autokorrelationsfunktion

In der Signalverarbeitung nutzt man für verschiedene Anwendungen die Kreuzkorrelationsfunktion eines Signals mit sich selbst, die sogenannte Autokorrelationsfunktion (AKF). Sie beschreibt die Ähnlichkeit eines Signals mit sich selbst.

Für ein reellwertiges Leistungssignal berechnet sie sich aus

${\displaystyle \Psi _{xx}(\tau )=\lim \limits _{T\to \infty }{{\frac {1}{2T}}\int \limits _{-T}^{T}{x(t)\cdot x(t+\tau ){\rm {d}}t}}}$.

Bei Energiesignalen ergibt sich in ähnlicher Weise

${\displaystyle \Psi _{xx}^{E}(\tau )={\int \limits _{-\infty }^{\infty }{x(t)\cdot x(t+\tau ){\rm {d}}t}}}$.

Bei komplexwertigen Signalen ergibt sich:

${\displaystyle {\underline {\Psi }}_{xx}(\tau )=\lim \limits _{T\to \infty }{{\frac {1}{2T}}\int \limits _{-T}^{T}{{\underline {x}}^{*}(t)\cdot {\underline {x}}(t+\tau ){\rm {d}}t}}}$.

und

${\displaystyle {\underline {\Psi }}_{xx}^{E}={\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{\underline {x}}^{*}(t)\cdot {\underline {x}}(t+\tau ){\rm {d}}t}},}$

wobei der Stern die konjugiert komplexe Zahl bedeutet.

Anwendung in der Bildverarbeitung

In der Bildverarbeitung nutzt man Korrelationsfunktionen unter anderem zur genauen Lokalisierung eines Musters (der Musterfunktion im Sinne der mathematischen Korrelation) in einem Bild. Dieses Verfahren kann z. B. zur Auswertung von Stereobildpaaren verwendet werden. Um die räumliche Koordinate eines Punktes berechnen zu können, muss eine eindeutige Zuordnung von Objekten im linken Bild zu den Objekten im rechten Bild existieren. Dazu nimmt man einen kleinen Ausschnitt aus dem einen Bild – das Muster – und korreliert ihn zweidimensional mit dem anderen Bild. Die so erhaltenen Koordinaten eines Objektpunktes oder -merkmals im linken und rechten Bild kann man mit Methoden der Photogrammetrie in räumliche Koordinaten umwandeln.

Die Fotos der Bildfolge links zeigen eine junge Frau, ihr Negativbild, Nietzsche und ein zufälliges Rauschmuster.

Um zu testen, ob das Foto der jungen Frau auch in den verrauschten Bildern wiederzufinden ist, wurden alle vier Bilder zunächst mit einem weißen Gaußschen Rauschen überlagert und dann mit ihrem Foto (erstes Foto der Bildfolge) korreliert.

Das Ergebnis sieht man in der Bildzusammenstellung rechts. Undeutlich zu erkennen sind die Ausgangsbilder. Rechts neben ihnen stehen die Korrelationsrechnungen.

Das Korrelationsbild von Nietzsche zeigt wenig Übereinstimmungen mit dem der jungen Frau, das Rauschmusterbild fast gar keine. Gut zu erkennen ist die positive und negative Korrelation mit den Bildern, die die Frau und ihr Negativ zeigen.

Im weiteren Sinn basieren sog. optische Rechner (Fourier-Optik, 4f) auf der Korrelation. Die auch als Fourier-Korrelatoren bezeichneten Systeme korrelieren Bilder mit Hilfe von Hologrammen. Durch eine 4f-Optik lässt sich die Korrelation im Frequenzraum durch einen rein physikalischen Prozess mit nahezu Lichtgeschwindigkeit erzielen. Notwendig ist eine optische Bank mit entsprechendem Linsensystem und Fourierlinse.

Anwendung in der Tonverarbeitung

Die Korrelation beschreibt bei der Stereofonie die Ähnlichkeit von Signalen. Der normierte Korrelationsfaktor oder Korrelationskoeffizient ist ein Ähnlichkeitsmaß zweier Signale und berechnet sich vereinfacht aus dem möglichst großen Zeitintegral der Amplitudendifferenz dieser beiden Signale. Er wird angenähert von Korrelationsgradmessern angezeigt, wobei diese in der Praxis allerdings nur einen Phasenbezug mit einer sehr kleinen Integrationszeit unter einer Sekunde untersuchen.

Als Messgerät wird in der Tontechnik der Korrelationsgradmesser oder das Goniometer verwendet.

Anwendung in der Mehrkanal-Signalübertragung

In der Nachrichtentechnik werden aus ökonomischen Gründen Verfahren eingesetzt, eine Vielzahl von untereinander unabhängigen Signalen (z. B. die Telefonsignale vieler Teilnehmer oder die Bild- und Tonsignale vieler Fernseh- oder Tonrundfunksender) über das gleiche Übertragungsmedium (Draht, Kabel, Funkstrecken, Lichtwellenleiter) zu übertragen. Um solche Kanalbündel nach der Übertragung, also auf der Empfängerseite, wieder störungsfrei „entbündeln“ zu können, müssen die Einzelsignale „unterscheidbar“ sein. Das bedeutet, dass die senderseitig zu einem Bündel zusammengefassten Einzelsignale untereinander (jedes mit jedem) orthogonal sein müssen, was der Grund dafür ist, dass z. B. in einem Funkfrequenzband nur eine beschränkte Menge an Kanälen zur Verfügung stehen. Die Orthogonalitätsbedingung ist in zwei Fällen trivial erfüllt, nämlich dann, wenn die einzelnen Signale sich spektral oder zeitlich nicht überlappen. In diesem Fall ist bereits das Produkt der Spektren der Einzelsignale oder das Produkt der Zeitfunktionen der Einzelsignale jeweils gleich Null, das Korrelationsintegral daher ebenfalls. Die deshalb auch technisch einfache Realisierung dieser beiden Fälle sind das Frequenzmultiplex- und das Zeitmultiplexverfahren. Mit modernen mikroelektronischen Technologien ist es nun aber auch möglich geworden, orthogonale Signale zu (de)multiplexen, die sich sowohl spektral als auch zeitlich gegenseitig überdecken (Codemultiplextechnik). Hier muss empfängerseitig tatsächlich die Korrelationsfunktion ermittelt werden. Das erfolgt in der Regel durch den Einsatz eines Optimalfilters.

Anwendung beim Signalempfang

Bei jeder Art von Signalübertragung treten Störungen verschiedener Art auf, mindestens aufgrund des thermischen Rauschens von Elektronen oder Photonen, die zur elektrischen oder optischen Signalübertragung notwendig sind. Auf der Empfängerseite entsteht also das Problem, das Signal mit einer maximalen Sicherheit vom Störsignal zu trennen. Das gelingt theoretisch umso besser, je mehr beim Empfänger über das Sendesignal bekannt ist (etwa über den Zeitverlauf eines gesendeten Radarsignals). In diesem Fall ist der Korrelationsempfang, d. h. die empfängerseitige Korrelation des ankommenden gestörten Signals mit einem Muster des Sendesignals die theoretisch optimale Lösung der Empfängerrealisierung. Dieses Prinzip wird nicht nur in der Radartechnik, sondern auch in der Natur angewendet, beispielsweise bei der Ultraschallortung der Fledermäuse.