Kettenkomplex

Ein (Ko-)Kettenkomplex in der Mathematik ist eine Folge von abelschen Gruppen oder $R$ -Moduln oder – noch allgemeiner – Objekten in einer abelschen Kategorie, die durch Abbildungen kettenartig verknüpft sind.

Definition

Kettenkomplex

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

C_{n},\,n\in \mathbb {Z}

von $R$ -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

d_{n}\colon C_{n}\rightarrow C_{n-1}

von $R$ -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

d_{n}\circ d_{n+1}=0

für alle n gilt. Der Operator $\mathrm {d} _{n}$ heißt Randoperator. Elemente von $C_{n}$ heißen n-Ketten. Elemente von

Z_{n}(C,d):=\ker d_{n}\subseteq C_{n}

bzw.

B_{n}(C,d):=\mathop {\mathrm {im} } d_{n+1}\subseteq C_{n}

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung $\,d_{n}d_{n+1}=0$ ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

H_{n}(C,d):=Z_{n}(C,d)/B_{n}(C,d)

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von $\,(C,d)$ , ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Kokettenkomplex

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

C^{n},\,n\in \mathbb {Z}

von $R$ -Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

d^{n}\colon C^{n}\rightarrow C^{n+1}

von $R$ -Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

d^{n}\circ d^{n-1}=0

für alle n gilt. Elemente von $\,C^{n}$ heißen n-Koketten. Elemente von

Z^{n}:=\ker d^{n}\subseteq C^{n}

bzw.

B^{n}:=\operatorname {im} d^{n-1}\subseteq C^{n}

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung $\,d^{n}d^{n-1}=0$ ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

H^{n}(C,d):=Z^{n}(C,d)/B^{n}(C,d)

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von $\,(C,d)$ , ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex $D_{**}$ in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht $D_{**}$ aus Objekten

D_{p,q}\in \operatorname {ob} A\,,\quad p,q\in \mathbb {Z}

zusammen mit Morphismen

D_{p,q}{\xrightarrow {d}}D_{p-1,q}

und

D_{p,q}{\xrightarrow {d'}}D_{p,q-1}\quad \forall \,p,q\in \mathbb {Z}

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

d\circ d=0\quad d'\circ d'=0\quad d\circ d'+d'\circ d=0\,.

Der Totalkomplex $\operatorname {Tot} (D)_{*}$ des Doppelkomplex $D_{**}$ ist der Kettenkomplex gegeben durch

\operatorname {Tot} (D)_{n}=\bigoplus _{p+q=n}D_{p,q}

mit der folgenden Randabbildung: für $x\in D_{p,q}$ mit $p+q=n$ ist

d_{n}(x)=d(x)+d'(x)\in D_{p-1,q}\oplus D_{p,q-1}\subseteq \operatorname {Tot} (D)_{n-1}\,.

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von $\operatorname {Tor} _{*}^{R}(M,N)$ nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.

Eigenschaften

Ein Kettenkomplex $(C_{\bullet },d_{\bullet })$ ist genau dann exakt an der Stelle $i$ , wenn $H_{i}(C_{\bullet },d_{\bullet })=0$ ist, entsprechend für Kokettenkomplexe. Die (Ko-)Homologie misst also, wie stark ein (Ko-)Kettenkomplex von der Exaktheit abweicht.

Ein Kettenkomplex heißt azyklisch, wenn alle seine Homologiegruppen verschwinden, er also exakt ist.

Kettenhomomorphismus

Eine Funktion

f\colon (A_{\bullet },d_{A,\bullet })\to (B_{\bullet },d_{B,\bullet })

heißt (Ko-)Kettenhomomorphismus, oder einfach nur Kettenabbildung, falls sie aus einer Folge von Gruppenhomomorphismen $f_{n}\colon A_{n}\rightarrow B_{n}$ besteht, welche mit dem Randoperator $d$ vertauscht. Das heißt für den Kettenhomomorphismus:

d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}

.

Für den Kokettenhomomorphismus gilt entsprechend

d_{B}^{n}\circ f_{n}=f_{n+1}\circ d_{A}^{n}

.

Diese Bedingung stellt sicher, dass $f$ Zykel auf Zykel und Ränder auf Ränder abbildet.

Kettenkomplexe bilden zusammen mit den Kettenhomomorphismen die Kategorie Ch(MOD R) der Kettenkomplexe.

Euler-Charakteristik

Es sei $(C,d)$ ein Kokettenkomplex aus $R$ -Moduln über einem Ring $R$ . Sind nur endlich viele Kohomologiegruppen nichttrivial, und sind diese endlichdimensional, so ist die Euler-Charakteristik des Komplexes definiert als die ganze Zahl

\chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}\dim _{K}\mathrm {H} ^{i}(C,d)\in \mathbb {Z} .

Sind auch die einzelnen Komponenten $C^{i}$ endlichdimensional und nur endlich viele von ihnen nichttrivial, so ist auch

\chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}\dim _{K}C^{i}\in \mathbb {Z} .

Im Spezialfall eines Komplexes $C^{0}\to C^{1}$ mit nur zwei nichttrivialen Einträgen ist diese Aussage der Rangsatz.

Etwas allgemeiner nennt man einen Kettenkomplex perfekt, wenn nur endlich viele Komponenten $C^{i}$ nichttrivial sind und jede Komponente ein endlich erzeugter projektiver Modul ist. Die Dimension ist dann durch die zugehörige Äquivalenzklasse in der K₀-Gruppe von $R$ zu ersetzen und man definiert als Euler-Charakteristik

\chi (C,d)=\sum _{i}(-1)^{i}[C^{i}]\in K_{0}(R).

Ist jeder projektive Modul frei, etwa wenn $R$ ein Körper oder ein Hauptidealring ist, so kann man von Dimensionen reden und erhält $K_{0}(R)\cong \mathbb {Z}$ mit $[R^{n}]{\mathrel {\hat {=}}}n$ . Dann fällt diese allgemeinere Definition mit der zuerst gegebenen zusammen.

Beispiele

Simplizialkomplex
Der singuläre Kettenkomplex zur Definition der singulären Homologie und der singulären Kohomologie topologischer Räume.
Gruppen(ko)homologie.
Jeder Homomorphismus $f\colon A\to B$ definiert einen Kokettenkomplex

(C,d)=(\ldots \to 0\to 0\to A\to B\to 0\to 0\to \ldots ).

Legt man die Indizes so fest, dass sich

A

in Grad 0 und

B

in Grad 1 befindet, so ist

H^{0}(C,d)=\ker f

und

H^{1}(C,d)=\mathrm {coker} \,f.

Die Euler-Charakteristik

\dim \ker f-\dim \mathrm {coker} \,f

von

(C,d)

wird in der Theorie der Fredholm-Operatoren der Fredholm-Index von

f

genannt. Dabei bezeichnet

\mathrm {coker} \,f

den Kokern von

f

.

Ein elliptischer Komplex oder ein Dirac-Komplex ist ein Kokettenkomplex, der in der Globalen Analysis von Bedeutung ist. Diese treten zum Beispiel im Zusammenhang mit dem Atiyah-Bott-Fixpunktsatz auf.

Literatur

Peter John Hilton, Urs Stammbach: A Course in Homological Algebra (Graduate Texts in Mathematics 4). Springer, New York u. a. 1971, ISBN 0-387-90033-0.

Einzelnachweise

↑ S. 7–8 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.
↑ Abschnitt 2.7 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.
↑ J. Cuntz, R. Meyer, J. Rosenberg: Topological and Bivariant K-Theory, Birkhäuser Verlag (2007), ISBN 3-764-38398-4, Definition 1.31

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[1] S. 7–8 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.

[2] Abschnitt 2.7 in Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5.

[3] J. Cuntz, R. Meyer, J. Rosenberg: Topological and Bivariant K-Theory, Birkhäuser Verlag (2007), ISBN 3-764-38398-4, Definition 1.31