In der Mathematik ist Starrheit von Kozykeln oder der Starrheitssatz von Zimmer (auch Superstarrheitssatz von Zimmer) eine Verallgemeinerung des Superstarrheitssatzes von Margulis. Er besagt im Wesentlichen, dass orbit-äquivalente Wirkungen (a priori unterschiedlicher Gruppen) konjugiert zueinander sind. Es gibt eine Reihe von Variationen des Starrheitssatzes von Zimmer.

Kozykel und Gruppenwirkungen

Sei ${\displaystyle \sigma \colon G\times M\to M}$ eine Wirkung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Kozykel mit Werten in ${\displaystyle H}$ ist eine messbare Abbildung

${\displaystyle c\colon G\times X\to H}$

mit

${\displaystyle c(g_{1}g_{2},x)=c(g_{1},\sigma (g_{2},x))c(g_{2},x)}$

für ${\displaystyle \mu }$-fast alle ${\displaystyle x\in M}$ und alle ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$.

Zum Beispiel ist ${\displaystyle c(g,x):=\rho (g)}$ für eine Darstellung ${\displaystyle \rho \colon G\to H}$ ein Kozykel. Ein Kozykel, der fast überall mit einer Darstellung ${\displaystyle \rho }$ übereinstimmt, heißt ${\displaystyle \rho }$-konstant.

Zwei Kozykel ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ heißen kohomolog, wenn es eine Abbildung ${\displaystyle \phi \colon M\to H}$ gibt mit

${\displaystyle c_{2}(g,x)=\phi (gx)^{-1}c_{1}(g,x)\phi (x)}$

für ${\displaystyle \mu }$-fast alle ${\displaystyle x\in M}$.

Einem Kozykel mit Werten in ${\displaystyle H}$ entspricht eine Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle X\times H}$ durch

${\displaystyle g(x,h)=(gx,c(g,x)h)}$,

die mit der Rechtswirkung von ${\displaystyle H}$ kommutiert.

Viele Probleme in der Theorie dynamischer Systeme können als Frage über Kohomologie von Kozykeln formuliert werden. Wenn die Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf ${\displaystyle M}$ die Maßklasse erhält, dann definiert die Radon-Nikodym-Ableitung einen Kozykel mit Werten in ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$. Für eine differenzierbare Wirkung auf einer glatten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit einer Lebesgue-messbaren Trivialisierung ${\displaystyle TM\simeq M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ist ${\displaystyle c(g,x):=D_{x}g}$ ein Kozykel mit Werten in ${\displaystyle H=GL(n,\mathbb {R} )}$. (Die Kozykel-Bedingung entspricht der Kettenregel.) Dies funktioniert allgemeiner für lineare Wirkungen auf Vektorbündeln mit messbarer Trivialisierung.

Superstarrheit für Kozykel

Sei ${\displaystyle G}$ eine einfach zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe, deren einfache Faktoren ${\displaystyle G_{i}}$ alle Rang ${\displaystyle rk_{\mathbb {R} }(G_{i})ge2}$ haben. ${\displaystyle G}$ wirke maßerhaltend und ergodisch auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (X,\mu )}$. Sei ${\displaystyle H}$ eine reelle algebraische Gruppe und ${\displaystyle c\colon G\times X\to H}$ ein ${\displaystyle G}$-integrabler Kozykel, d. h. für jede kompakte Teilmenge ${\displaystyle K\subset G}$ ist die Abbildung ${\displaystyle x\mapsto sup_{g\in K}\log ^{+}\Vert c(g,x)\Vert }$ in ${\displaystyle L^{1}(X,\mu )}$.

Dann gibt es einen Lie-Gruppen-Homomorphismus ${\displaystyle \rho \colon G\to H}$, eine ${\displaystyle \rho (G)}$ zentralisierende kompakte Unter-Lie-Gruppe ${\displaystyle K\subset G}$, und einen Kozykel ${\displaystyle c_{K}\colon G\times X\to K}$ so, dass ${\displaystyle c}$ kohomolog zu ${\displaystyle \rho \cdot c_{K}}$ ist.

Literatur

• R. Zimmer: Ergodic Theory and Semisimple Groups. Monographs in Mathematics, Vol. 81. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser, 1984
• R. Zimmer, D. Witte Morris: Ergodic theory, groups, and geometry. Lectures presented at the NSF-CBMS regional research conferences in the mathematical sciences, University of Minnesota, Minneapolis, MN, USA, June 22–26, 1998. CBMS Regional Conference Series in Mathematics 109. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2008, ISBN 978-0-8218-0980-8/pbk

Weblinks

• R. Feres: An introduction to cocycle super-rigidity