Kummer-Theorie

Im mathematischen Teilgebiet der Körpertheorie beschreibt die Kummer-Theorie bestimmte Körpererweiterungen, die man durch Adjunktion $n$ -ter Wurzeln von Elementen des Grundkörpers erhält. Ursprünglich wurde die Theorie von Ernst Eduard Kummer bei seiner Beschäftigung mit der fermatschen Vermutung in den 1840er-Jahren entwickelt.

Die Hauptaussagen der Theorie hängen nicht vom speziellen Grundkörper ab, nur darf dessen Charakteristik kein Teiler von $n$ sein. Eine grundlegende Rolle spielt die Kummer-Theorie in der Klassenkörpertheorie, allgemein ist sie zum Verständnis abelscher Erweiterungen wichtig; sie besagt, dass zyklische Erweiterungen durch Wurzelziehen gewonnen werden können, sofern der Grundkörper genügend Einheitswurzeln enthält.

Kummererweiterungen

Definition

Sei $n>1$ eine natürliche Zahl. Eine Kummer-Erweiterung ist eine Körpererweiterung $L/K$ , für die gilt:

$K$ enthält $n$ verschiedene $n$ -te Einheitswurzeln, also die Nullstellen des Polynoms $X^{n}-1$ .
$L/K$ hat eine abelsche Galoisgruppe vom Exponenten $n$ . Letzteres bedeutet, dass für alle Elemente $\sigma$ der Galoisgruppe $\sigma ^{n}=\operatorname {Id}$ gilt und $n$ minimal mit dieser Eigenschaft ist.

Beispiele

Ist $n=2$ , so ist die erste Bedingung immer erfüllt, falls $K$ nicht die Charakteristik 2 hat, die beiden Einheitswurzeln sind 1 und −1. Kummer-Erweiterungen sind in diesem Fall zunächst quadratische Erweiterungen $L=K({\sqrt {a}})$ , wobei $a$ ein nichtquadratisches Element von $K$ ist. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zeigt, dass jede Erweiterung vom Grad 2 diese Gestalt besitzt. Ebenfalls Kummer-Erweiterungen für $n=2$ sind biquadratische (durch Adjunktion zweier Quadratwurzeln) und allgemeiner multiquatratische (durch Adjunktion mehrerer Quadratwurzeln) Erweiterungen. Hat $K$ die Charakteristik 2, gibt es keine Kummer-Erweiterungen, da in Charakteristik 2 die Gleichung $-1=1$ gilt, es also keine zwei verschiedenen Einheitswurzeln gibt.

Für $n=3$ gibt es keine Kummer-Erweiterungen der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ , da nicht alle drei dritten Einheitswurzeln rational sind. Sei $a$ eine beliebige rationale Zahl, die keine dritte Potenz ist, und $L$ der Zerfällungskörper von $X^{3}-a$ über $\mathbb {Q}$ . Sind $\alpha$ und $\beta$ Nullstellen dieses kubischen Polynoms, so gilt $(\alpha /\beta )^{3}=\alpha ^{3}/\beta ^{3}=a/a=1$ . Da das kubische Polynom ferner separabel ist, hat es drei verschiedene Nullstellen. Damit liegen auch die beiden nichttrivialen dritten Einheitswurzeln, nämlich $\alpha /\beta$ und $\beta /\alpha$ , in $L$ , sodass $L$ einen Unterkörper $K$ besitzt, der die drei Einheitswurzeln enthält. Dann ist $L/K$ eine Kummer-Erweiterungen.

Enthält $K$ allgemeiner $n$ verschiedene $n$ -te Einheitswurzeln, woraus bereits folgt, dass die Charakteristik von $K$ kein Teiler von $n$ ist, so erhält man durch Adjunktion einer $n$ -ten Wurzel eines Elements $a$ von $K$ zum Körper $K$ eine Kummer-Erweiterung. Ihr Grad $m$ ist dabei ein Teiler von $n$ . Als Zerfällungskörper des Polynoms $X^{n}-a$ ist die Kummer-Erweiterung automatisch galoissch mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung $m$ .

Kummer-Theorie

Die Kummer-Theorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung. Ist $K$ ein Körper, der $n$ verschiedene $n$ -te Einheitswurzeln enthält, so besagt sie, dass jede zyklische Erweiterung von $K$ vom Grad $n$ durch das Ziehen einer $n$ -ten Wurzel gewonnen werden kann. Bezeichnet man mit $K^{\times }$ die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Körpers $K$ , so stehen die zyklischen Erweiterungen von $K$ vom Grad $n$ , die in einem fest gewählten algebraischen Abschluss liegen, in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von $K^{\times }/(K^{\times })^{n}$ , also der Faktorgruppe von $K^{\times }$ nach den $n$ -ten Potenzen.

Die Bijektion kann explizit angegeben werden: Einer zyklischen Untergruppe $\Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n}$ wird die Erweiterung $K(\Delta ^{1/n})$ zugeordnet, die durch Adjunktion aller $n$ -ten Wurzeln von Elementen aus $\Delta$ zu $K$ entsteht.

Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung $L/K$ die Untergruppe $\Delta =K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}$ zu.

Ordnet diese Bijektion die Gruppe $\Delta$ und die Körpererweiterung $L/K$ einander zu, so gibt es einen Isomorphismus $\Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})$ , der gegeben ist durch $a\mapsto (\sigma \mapsto {\tfrac {\sigma (\alpha )}{\alpha }})$ . Dabei steht $\mu _{n}$ für die Gruppe der $n$ -ten Einheitswurzeln und $\alpha$ für eine beliebige $n$ -te Wurzel von $a\in \Delta$ .

Verallgemeinerungen

Die oben angegebene Korrespondenz setzt sich fort zu einer Bijektion zwischen Untergruppen $\Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n}$ und abelschen Erweiterungen vom Exponenten $n$ . Diese allgemeine Fassung wurde erstmals von Ernst Witt angegeben.

In Charakteristik $p>0$ gibt es eine analoge Theorie für zyklische Erweiterungen vom Grad $p$ , die Artin-Schreier-Theorie. Eine Verallgemeinerung für abelsche Erweiterungen vom Exponenten $p^{n}$ stammt ebenfalls von Witt. Sie verwendet die in derselben Arbeit eingeführten Wittvektoren.

Fußnoten

↑ Peter Roquette: Class Field Theory in Characteristic p, its Origin and Development. In: Class Field Theory, its Centenary and Prospect. Math. Soc. Japan, Tokyo 2001, S. 549–631. Die Originalarbeit von Witt ist: Ernst Witt: Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 173, 1935, S. 34–51.
↑ Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 176, 1936, S. 126–140.

Quellen

Jürgen Neukirch: Klassenkörpertheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1986.
L. V. Kuz'min: Kummer extension. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

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[1] Peter Roquette: Class Field Theory in Characteristic p, its Origin and Development. In: Class Field Theory, its Centenary and Prospect. Math. Soc. Japan, Tokyo 2001, S. 549–631. Die Originalarbeit von Witt ist: Ernst Witt: Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 173, 1935, S. 34–51.

[2] Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 176, 1936, S. 126–140.